فهم الضرب المتكامل خطوة بخطوة

يتم تعريف التكاملات أيضًا على أنها تحديد المنطقة أسفل منحنى. هذا التعريف ضيق للغاية. إنه مثل ادعاء حدوث الضرب لتحديد مجال المستطيلات. منطقة الحساب هي تطبيق جدير بالاهتمام ، ولكنها ليست هدف الضرب.

ستسمع الكثير من النقاش حول المنطقة. المنطقة هي طريقة واحدة فقط لتخيل الضرب. الحيلة ليست المجال ، ولكن مفهوم خلط الكميات لإنتاج نتيجة جديدة. يمكننا دمج ("ضرب") الطول والعرض للحصول على حقل قديم بسيط ، بالتأكيد. لكن يمكننا دمج السرعة والوقت للحصول على الحجم ، أو الوزن ، والعرض ، والارتفاع للحصول على الحجم.

عندما نحاول استخدام الضرب القياسي ، ولكن لا يمكننا ذلك ، فإننا نسحب الأسلحة الكبيرة ونجمعها. المنطقة هي مجرد تقنية محاكاة ، لذلك لا تنغمس فيها كثيرًا.

فهم الضرب في سياق التكاملات

مع مرور الوقت ، تطور تفسيرنا للضرب:

الضرب هو الجمع المتكرر للأعداد الصحيحة (2 × 5). الضرب هو تحجيم الأعداد الحقيقية (4.9 × √4). الضرب هو القذف والقياس في حالة الأعداد السالبة (- 6.2 × 9.8). الضرب هو أيضًا قياس الأعداد المركبة وتدويرها (5 × 2i).

نحن نتجه نحو مفهوم أوسع لـ "تطبيق" رقم على آخر ، مع اختلاف الخصائص التي نستخدمها. الاندماج هو الخطوة التالية في هذه الرحلة.

اقرأ أيضًا: لعبة الأرقام: لماذا المحاسبة السحابية هي المستقبل

كيف تلعب المنطقة؟

المنطقة موضوع معقد. في الوقت الحالي ، اعتبر المنطقة تمثيلًا مرئيًا للضرب على الرسم البياني. يمكننا إضافة محور والحصول على نتيجة لكل عدد على محور مختلف والذي سيكون 12 وحدة مربعة. تم تمرير خصائص كل مدخلات إلى الإخراج بالوحدات المربعة.

أليس من السهل؟ هذا هو المكان الذي تصبح فيه الأمور معقدة بعض الشيء. سيعطي الضرب المساحة غير الموجودة في السالب (2 × (-6) = -12).

نتعرف على الرسم البياني كتمثيل للضرب ونستخدم المقارنة على النحو المطلوب. يمكننا الضرب ، على الرغم من أن أحدهم كان أعمى ولا توجد رسوم بيانية. المنطقة مجرد افتراض.

جزء بجزء الضرب

الآن اضرب 2 في 6.5.

نظرًا لأن 6.5 ليس عددًا ، فقد نستخدم عملية جزء تلو الآخر. إذا كانت 2 × 6 تساوي 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ، فإن 2 × 6.5 تساوي 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 × 0.5 تساوي 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

نضرب 2 في 6.5. بمعنى آخر ، قمنا بخلط جزأين مع 6 مقاطع كاملة (2 × 6 = 12) وقطعة جزئية واحدة (2 × 0.5 = 1).

لقد تعودنا على الضرب لدرجة أننا نسينا مدى فعاليته. قد نقسم عددًا إلى وحدات (كاملة وجزئية) ، ونضرب كل جزء ، ثم نجمع النتائج. هل رأيت كيف تعاملنا مع الجزء الكسري؟ هذه هي الخطوة الأولى نحو التكاملات.

لا تبقى الأرقام ثابتة بالضرورة طويلة بما يكفي لتجميعها. مواقف مثل "لقد قمت بالقيادة بسرعة 180 كم / ساعة لمدة 50 دقيقة" هي للراحة وليست الواقعية.

كيف تصف عددًا متغيرًا؟

اختبارنا الأول هو تحديد رقم يتغير. لا يمكننا أن نقول ببساطة ، "لقد قطعت 20 كم." ليس الأمر محددًا. كم أخذت لتغطية تلك المسافة؟

الآن دعونا نكون دقيقين. لقد قطعت مسافة كيلومتر واحد في أول دقيقتين ، و 1 كيلومتر في الدقيقة ^{الثالثة} ، و 1 كيلومتر في الدقيقة ^{الرابعة} ، و 1.3 كيلومتر في الدقيقة ^{الخامسة} ، وهكذا.

الآن ، هذا ملخص جيد ودقيق بما يكفي لمعرفة المسافة المقطوعة. التعريف الرسمي هو "السرعة دالة للوقت" ، مما يعني أنه يمكننا استبدال قيمة الوقت والسرعة للحصول على المسافة أو قيمة المسافة والوقت للحصول على السرعة.

المسافة = ∫ السرعة (ر) × الوقت

حيث تشير السرعة إلى السرعة في أي وقت. نظرًا لأن السرعة (t) = 2t في حالتنا ، يمكننا كتابة:

المسافة = ∫ 2t × t

ومع ذلك ، لا تزال هذه المعادلة تبدو غريبة. يبدو أن "t" دائمًا لحظة واحدة يجب أن نختارها (على سبيل المثال ، t = 3 ثوانٍ) ، مما يعني أن السرعة (t) ستتخذ قيمة واحدة. هذا ليس مناسبا.

يمكننا أن نأخذ سرعة واحدة ونفترض أن ذلك ينطبق على المستطيل بأكمله باستخدام الضرب المنتظم. ومع ذلك ، فإن تغيير السرعات يستلزم اتباع نهج مجزأ للجمع بين السرعة والوقت لكل ثانية.

عندما لا تتغير الأرقام ، فإن الضرب الطبيعي هو حالة خاصة من حالات التكامل. يمكن أن تكون الآلة الحاسبة العكسية عبر الإنترنت (متكاملة) مفيدة جدًا في هذه المرحلة.

ما الذي يجب مراعاته عند ضرب جزء بجزء؟

يطرح سؤال عند ضرب جزء بجزء. ما هو حجم "الجزء"؟ هل هذا الجزء مسافة بالأمتار أو الكيلومترات ، أو السرعة بالمتر في الثانية ، أو الوقت بالثواني ، أو الدقائق ، أو الساعات؟

الجزء صغير بما يكفي بحيث يبدو أن المعنى هو نفسه خلال الفترة. نحن لا نطلب الدقة المطلقة.

تم اختراع الحدود لمساعدتنا في الضرب الجزئي. على الرغم من أنها مفيدة ، إلا أنها تمثل حلاً لمعضلة يمكن أن تصرف الانتباه بعيدًا عن تصور الانضمام إلى الأشياء. يزعجني أن القيود المفروضة في بداية حساب التفاضل والتكامل قبل أن نفهم القضية التي صُممت من أجلها. إنها مفهوم مفيد بالتأكيد ، لكن يبدو أن نيوتن يفهم التفاضل والتكامل بشكل جيد بدونها.

لنفترض أننا نتعامل مع فترة من 4 إلى 5 ثوانٍ.

السرعة الابتدائية (4 × 3 = 12 ميلاً في الساعة) تختلف عن السرعة النهائية (5 × 4 = 20 ميلاً في الساعة). الآن بعد أن أصبح لدينا سرعتان ، كيف نحصل على المسافة ، وما قيمة السرعة التي سنستخدمها؟

الحل هو أننا نقسم السرعة إلى أجزاء صغيرة بما يكفي (4.000 إلى 4.001 ثانية) حتى لا تهمنا الفجوة في السرعة بين بداية الدورة ونهايتها. مرة أخرى ، هذه محادثة أطول ، ولكن هناك فترة زمنية تجعل الفرق ضئيلًا.

على الرسم البياني ، تصور كل فترة زمنية كنقطة واحدة على الرسم التخطيطي. يمكنك رسم خط مستقيم يصل إلى كل سرعة ، وتكون "منطقتك" عبارة عن مجموعة من الخطوط التي تتضاعف.

قم بتغليفه

كان من الصعب فصل "جزء" عن قيمته. يشار إلى الفترة قيد النظر على أنها "جزء" (1 نانوثانية ، 1 ميلي ثانية ، أو ثانية واحدة). الموضع هو بداية الفاصل الزمني نانوثانية ، أو ميلي ثانية ، أو الفاصل الزمني الثاني. تمثل القيمة السرعة عند تلك النقطة.

مرة أخرى ، يسمح حساب التفاضل والتكامل للمرء بتقليص الفترة حتى لا نستطيع تحديد الفرق في السرعة بين بداية الفترة ونهايتها. راقب الصورة الأكبر لأننا باستخدام هذه الطريقة ، نضرب التكاملات جزءًا بجزء. مما يجعل العملية برمتها بسيطة للغاية.