Ganzzahlige Multiplikation Schritt für Schritt verstehen

Integrale werden auch als Lokalisierung des Bereichs unter einer Kurve definiert. Diese Definition ist zu eng. Es ist, als ob die Multiplikation behauptet, das Feld der Rechtecke zu lokalisieren. Der Rechenbereich ist eine sinnvolle Anwendung, aber nicht das Ziel der Multiplikation.

Sie werden viele Diskussionen über die Gegend hören. Die Fläche ist nur eine Möglichkeit, sich Multiplikation vorzustellen. Der Trick ist nicht das Feld, sondern das Konzept, Mengen zu mischen, um ein neues Ergebnis zu erzielen. Wir können Länge und Breite integrieren („multiplizieren“), um ein einfaches altes Feld zu erhalten, sicher. Aber wir können Geschwindigkeit und Zeit integrieren, um die Größe zu erhalten, oder Gewicht, Breite und Höhe, um das Volumen zu erhalten.

Wenn wir versuchen, die Standardmultiplikation zu verwenden, es aber nicht können, ziehen wir die großen Geschütze heraus und kombinieren sie. Das Gebiet ist nur eine Simulationstechnik, also verliere dich nicht zu sehr darin.

Multiplikation im Zusammenhang mit Integralen verstehen

Im Laufe der Zeit entwickelte sich unsere Interpretation der Multiplikation:

Multiplikation ist die wiederholte Addition ganzer Zahlen (2 x 5). Multiplikation ist Skalierung für reelle Zahlen (4,9 x √4). Multiplikation ist Werfen und Skalieren bei negativen Zahlen (- 6,2 × 9,8). Multiplikation ist auch Skalierung und Rotation komplexer Zahlen (5 × 2i).

Wir bewegen uns in Richtung eines umfassenderen Konzepts der „Anwendung“ einer Zahl auf eine andere, wobei die von uns verwendeten Eigenschaften variieren werden. Integration ist der nächste Schritt auf diesem Weg.

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Wie kommt der Bereich ins Spiel?

Das Gebiet ist ein kompliziertes Thema. Betrachten Sie die Fläche vorerst als eine visuelle Darstellung der Multiplikation in einem Diagramm. Wir können eine Achse hinzufügen und erhalten ein Ergebnis für jede Zählung auf einer anderen Achse, die 12 Quadrateinheiten beträgt. Die Eigenschaften jeder Eingabe wurden in Quadrateinheiten an die Ausgabe übergeben.

Ist es nicht einfach? Hier wird es etwas kompliziert. Die Multiplikation ergibt die negative Fläche, die nicht existiert (2 x (-6) = -12).

Wir erkennen den Graphen als Darstellung der Multiplikation und verwenden den Vergleich nach Bedarf. Wir konnten multiplizieren, obwohl jemand blind war und es keine Diagramme gab. Das Gebiet ist nur eine Vermutung.

Teilweise Multiplikation

Multiplizieren Sie nun 2 mit 6,5.

Da 6,5 ​​keine Zählung ist, können wir eine Teil-für-Teil-Operation verwenden. Wenn 2×6 gleich 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ist, dann ist 2 x 6,5 gleich 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 gleich 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Wir multiplizieren 2 mit 6,5. Mit anderen Worten, wir haben zwei Segmente mit 6 ganzen Segmenten (2 x 6 = 12) und einem Teilsegment (2 x 0,5 = 1) gemischt.

Wir sind so an die Multiplikation gewöhnt, dass wir vergessen haben, wie effektiv sie ist. Wir können eine Zahl in Einheiten (ganze und teilweise) teilen, jeden Teil multiplizieren und dann die Ergebnisse summieren. Haben Sie gesehen, wie wir mit einem Bruchteil umgegangen sind? Dies ist der erste Schritt zu Integralen.

Zahlen bleiben nicht unbedingt lange genug still, um sie zu addieren. Situationen wie „Du bist 50 Minuten lang 180 km/h gefahren“ dienen der Bequemlichkeit, nicht dem Realismus.

Wie beschreibt man eine variierende Zahl?

Unser erster Test besteht darin, eine Zahl zu definieren, die sich ändert. Wir können nicht einfach sagen: „Ich habe 20 km zurückgelegt.“ Es ist nicht so spezifisch. Wie viel hast du genommen, um diese Strecke zurückzulegen?

Jetzt werden wir präzise. Sie haben in den ersten 2 Minuten 1 km, in der ^3. Minute 1 km, in der 4. ^Minute 1 km und in der 5. ^Minute 1,3 km zurückgelegt, und so weiter.

Nun, dies ist eine anständige Zusammenfassung, die genau genug ist, um Ihre zurückgelegte Entfernung zu kennen. Die formale Definition lautet „Geschwindigkeit ist eine Funktion der Zeit“, was bedeutet, dass wir den Wert von Zeit und Geschwindigkeit ersetzen können, um die Entfernung zu erhalten, oder den Wert von Entfernung und Zeit, um die Geschwindigkeit zu erhalten.

Distanz = ∫ Geschwindigkeit(t)× Zeit

Wobei Geschwindigkeit die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bezeichnet. Da in unserem Fall Geschwindigkeit(t) = 2t ist, können wir schreiben:

Abstand = ∫ 2t × t

Doch diese Gleichung scheint immer noch seltsam. „t“ scheint immer ein einzelner Moment zu sein, den wir auswählen müssen (z. B. t = 3 Sekunden), was impliziert, dass die Geschwindigkeit (t) einen einzelnen Wert annehmen würde. Das ist nicht angemessen.

Wir können einen Schritt machen und davon ausgehen, dass dies für das gesamte Rechteck gilt, indem wir eine reguläre Multiplikation verwenden. Die Geschwindigkeitsänderung erfordert jedoch einen schrittweisen Ansatz, um Tempo und Zeit für jede Sekunde zu kombinieren.

Wenn sich die Zahlen nicht ändern, ist die normale Multiplikation ein Sonderfall der Integration. Ein Online-Stammfunktionsrechner (Integral) könnte in dieser Phase sehr praktisch sein.

Was ist bei der Teil-für-Teil-Multiplikation zu beachten?

Eine Frage stellt sich, wenn Teil für Teil multipliziert wird. Wie groß ist ein „Teil“? Ist dieser Teil eine Entfernung in Metern oder Kilometern, eine Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde oder eine Zeit in Sekunden, Minuten oder Stunden?

Der Teil ist klein genug, dass die Bedeutung über den Zeitraum gleich zu sein scheint. Wir verlangen keine absolute Genauigkeit.

Grenzen wurden erfunden, um uns bei der Teil-für-Teil-Multiplikation zu helfen. Obwohl sie hilfreich sind, sind sie eine Lösung für ein Dilemma, das die Aufmerksamkeit von der Wahrnehmung ablenken kann, Dinge zu verbinden. Es irritiert mich, dass Einschränkungen ganz am Anfang der Analysis auferlegt werden, bevor wir das Problem erfassen, für das sie entwickelt wurden. Sie sind sicherlich ein nützliches Konzept, aber Newton schien die Infinitesimalrechnung auch ohne sie gut zu verstehen.

Nehmen wir an, wir haben es mit einem Intervall von 4 bis 5 Sekunden zu tun.

Die Anfangsgeschwindigkeit (4 x 3 = 12 mph) unterscheidet sich von der Endgeschwindigkeit (5 x 4 = 20 mph). Nun, da wir zwei Geschwindigkeiten haben, wie erhalten wir die Entfernung und welcher Geschwindigkeitswert wird verwendet?

Die Lösung besteht darin, dass wir die Geschwindigkeit in ausreichend kleine Fragmente (4.000 bis 4.001 Sekunden) aufteilen, bis die Schrittlücke zwischen Beginn und Ende des Zyklus für uns keine Rolle mehr spielt. Auch dies ist ein längeres Gespräch, aber es gibt eine Zeitspanne, die den Unterschied vernachlässigbar macht.

Visualisieren Sie in einem Diagramm jedes Intervall als einzelnen Punkt im Diagramm. Sie können bis zu jeder Geschwindigkeit eine gerade Linie ziehen, und Ihr „Bereich“ ist eine Ansammlung von Linien, die sich vervielfachen.

Verpacken

Es war schwierig, einen „Teil“ von seinem Wert zu trennen. Der betrachtete Zeitraum wird als „Teil“ bezeichnet (1 Nanosekunde, 1 Millisekunde oder 1 Sekunde). Die Position ist der Beginn des Nanosekunden-, Millisekunden- oder Sekundenintervalls. Der Wert repräsentiert die Geschwindigkeit an diesem Punkt.

Wieder einmal erlaubt es der Kalkül, das Intervall zu verkürzen, bis wir den Tempounterschied zwischen dem Beginn und dem Ende des Intervalls nicht mehr sagen können. Behalten Sie das Gesamtbild im Auge, denn mit dieser Methode multiplizieren wir Integrale Teil für Teil. Das macht den ganzen Prozess viel einfacher.