積分乗算を段階的に理解する
公開: 2021-05-19
積分は、領域を曲線の下に配置することとしても定義されます。 この定義は狭すぎます。 それは、たまたま乗算によって四角形の体が見つかったと主張するようなものです。 計算領域は価値のあるアプリケーションですが、乗算の目的ではありません。
あなたはその地域について多くの議論を聞くでしょう。 面積は乗算を想像するための 1 つの方法にすぎません。 トリックはフィールドではなく、量を混合して新しい結果を生み出すという概念です。 確かに、長さと幅を統合 (「乗算」) して、単純な古いフィールドを取得できます。 しかし、速度と時間を統合してサイズを取得したり、重量、幅、高さを統合して体積を取得したりできます。
標準的な乗算を使用しようとしても使用できない場合は、大きな銃を取り出してそれらを組み合わせます。 この領域は単なるシミュレーション手法であるため、あまり深く考えないでください。
積分のコンテキストで乗算を理解する
時間が経つにつれて、乗算の解釈が進化しました。
乗算は、整数 (2 x 5) の加算の繰り返しです。 乗算は実数 (4.9 x √4) のスケーリングです。 掛け算は、負の数（- 6.2 × 9.8）の場合はトスとスケーリングです。 乗算は、複素数 (5 × 2i) のスケーリングと回転でもあります。
ある数値を別の数値に「適用」するというより広い概念に向かって進んでおり、使用するプロパティはさまざまです。 統合は、この旅の次のステップです。
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エリアはどのように機能しますか？
この分野は複雑なトピックです。 とりあえず面積は掛け算をグラフに視覚的に表現したものと考えてください。 軸を追加して、12 平方単位になる別の軸の各カウントの結果を取得できます。 各入力のプロパティは、平方単位で出力に渡されました。
シンプルですね。 これは、物事が少し複雑になるところです。 乗算は、存在しない負の面積を与えます (2 x (-6) = -12)。
グラフを乗算の表現として認識し、必要に応じて比較を使用します。 誰かが盲目で図がなかったとしても、私たちは増やすことができました。 面積はあくまでも推測です。
部分ごとの乗算
次に、2 に 6.5 を掛けます。
6.5はカウントではないので、パーツごとの操作を使用する場合があります。 2×6 が 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 に等しい場合、2 x 6.5 は 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0.5 に等しい 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13
2 に 6.5 を掛けています。 つまり、2 つのセグメントを 6 つの完全なセグメント (2 x 6= 12) と 1 つの部分セグメント (2 x 0.5 = 1) と混合しました。
私たちは乗算に慣れすぎて、それがどれほど効果的かを忘れてしまいました。 数値を単位 (全体と部分) に分割し、各部分を掛けてから、結果を合計します。 小数部の処理方法を見たことがありますか? これが積分への第一歩です。
数値は、足し合わせるのに十分長く静止している必要はありません。 「時速 180 km で 50 分間運転した」などの状況は、便宜上のものであり、現実的ではありません。
可変数をどのように記述しますか?
最初のテストは、変化する数値を定義することです。 「20km走った」とは簡単には言えません。 それほど具体的ではありません。 その距離を移動するのにどれくらいかかりましたか?
では、正確に説明しましょう。 最初の 2 分間で 1 km、 3分間で1 km、4 分間で1 km、5 分間で 1.3 km を移動しました。
さて、これはまともな要約であり、あなたの移動距離を知るのに十分正確です. 正式な定義は「速度は時間の関数である」です。つまり、時間と速度の値を置き換えて距離を取得したり、距離と時間の値を置き換えて速度を取得したりできます。
距離 = ∫速度(t)×時間
ここで、速度は任意の時点での速度を表します。 この場合、speed(t) = 2t なので、次のように書くことができます。
距離 = ∫ 2t × t
しかし、この方程式はまだ奇妙に思えます。 「t」は常に、選択しなければならない 1 つの瞬間 (たとえば、t=3 秒) のように見えます。これは、speed(t) が 1 つの値を取ることを意味します。 それは適切ではありません。
通常の乗算を使用して、1 つのペースで四角形全体に当てはまると仮定できます。 ただし、スピードを変えるには、1 秒あたりのペースと時間を組み合わせるための断片的なアプローチが必要です。
数値が変化しない場合、通常の乗算は積分の特殊なケースです。 この段階では、オンラインの反導関数計算機 (積分) が非常に便利です。
部分ごとに乗算する際に考慮すべきことは何ですか?
部分ごとに乗算すると問題が発生します。 「部品」の大きさは？ その部分はメートルまたはキロメートル単位の距離、メートル/秒単位の速度、または秒、分、または時間単位の時間ですか?
その部分は小さいので、その意味は時代を超えて同じように見えます。 絶対的な精度は必要ありません。
部分ごとの乗算を支援するために極限が発明されました。 それらは役に立ちますが、物事を結合するという認識から注意をそらす可能性のあるジレンマに対する解決策です。 微積分が設計された問題を理解する前に、微積分の最初の段階で制限が課せられることにイライラします。 確かにそれらは便利な概念ですが、ニュートンはそれらがなくても微積分をうまく理解していたようです。
4 秒から 5 秒の間隔を扱っているとしましょう。
初期速度 (4 x 3 = 12mph) は最終速度 (5 x 4 = 20mph) とは異なります。 2 つの速度が得られたので、どのようにして距離を取得し、どの速度値を使用するのでしょうか?
解決策は、サイクルの開始と終了の間のペースのギャップが問題にならなくなるまで、速度を十分に小さな断片 (4.000 ～ 4.001 秒) に分割することです。 繰り返しますが、これはより長い会話ですが、違いを無視できる期間があります。
グラフでは、各間隔をダイアグラム上の 1 つの点として視覚化します。 それぞれの速度まで直線を引くことができ、あなたの「面積」は乗算される線の集まりです。
まとめます
「部分」とその価値を切り離すことは困難でした。 検討中の期間は、「パート」（1 ナノ秒、1 ミリ秒、または 1 秒）と呼ばれます。 位置は、ナノ秒、ミリ秒、または秒間隔の開始です。 値はその時点での速度を表します。
繰り返しになりますが、微積分を使用すると、間隔の開始と終了の間のペースの違いがわからなくなるまで、間隔を縮小できます。 この方法を使用することにより、積分を部分ごとに乗算するため、全体像に注意してください。 これにより、プロセス全体が非常に簡単になります。