Comprender la multiplicación integral paso a paso

Las integrales también se definen como la localización de la región bajo una curva. Esta definición es demasiado estrecha. Es como afirmar que la multiplicación sucede para ubicar el campo de rectángulos. El área de cálculo es una aplicación que vale la pena, pero no el objetivo de la multiplicación.

Escucharás mucha discusión sobre el área. El área es solo una forma de imaginar la multiplicación. El truco no es el campo, sino el concepto de mezclar cantidades para producir un nuevo resultado. Podemos integrar ("multiplicar") la longitud y el ancho para obtener un campo simple, seguro. Pero podemos integrar la velocidad y el tiempo para obtener el tamaño, o el peso, el ancho y la altura para obtener el volumen.

Cuando intentamos usar la multiplicación estándar, pero no podemos, sacamos las armas grandes y las combinamos. El área es solo una técnica de simulación, así que no te envuelvas demasiado en ella.

Comprender la multiplicación en el contexto de las integrales

Con el tiempo, nuestra interpretación de la multiplicación evolucionó:

La multiplicación es la suma repetida de números enteros (2 x 5). La multiplicación está escalando para números reales (4.9 x √4). La multiplicación es tirar y escalar en caso de números negativos (- 6,2 × 9,8). La multiplicación también es escalar y rotar números complejos (5 × 2i).

Nos estamos moviendo hacia un concepto más amplio de "aplicar" un número a otro, y las propiedades que usamos variarán. La integración es el siguiente paso en este viaje.

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¿Cómo entra en juego el área?

El área es un tema complicado. Por el momento, considere el área como una representación visual de la multiplicación en un gráfico. Podemos agregar un eje y obtener un resultado para cada conteo en un eje diferente que será de 12 unidades cuadradas. Las propiedades de cada entrada se pasaron a la salida en unidades cuadradas.

¿No es sencillo? Aquí es donde las cosas se complican un poco. La multiplicación dará el área en negativo que no existe (2 x (-6) = -12).

Reconocemos la gráfica como una representación de la multiplicación y empleamos la comparación según sea necesario. Podríamos multiplicar, aunque alguien fuera ciego y no hubiera diagramas. El área es simplemente una suposición.

Multiplicación parte por parte

Ahora multiplica 2 por 6,5.

Como 6.5 no es un conteo, podemos usar una operación parte por parte. Si 2 × 6 es igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, entonces 2 x 6,5 es igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 × 0,5 es igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Estamos multiplicando 2 por 6,5. En otras palabras, mezclamos dos segmentos con 6 segmentos completos (2 x 6= 12) y un segmento parcial (2 x 0,5 = 1).

Estamos tan acostumbrados a la multiplicación que hemos olvidado su eficacia. Podemos dividir un número en unidades (total y parcial), multiplicar cada parte y luego sumar los resultados. ¿Has visto cómo manejamos una parte fraccionaria? Este es el primer paso hacia las integrales.

Los números no necesariamente se quedan quietos el tiempo suficiente para que podamos sumarlos. Situaciones como “Manejaste 180 km/h durante 50 minutos” son por conveniencia, no por realismo.

¿Cómo describir un número variable?

Nuestra primera prueba es definir un número que está cambiando. No podemos decir simplemente: “He recorrido 20 km”. No es tan específico. ¿Cuánto te costó cubrir esa distancia?

Ahora vamos a ser precisos. Has recorrido 1 km en los primeros 2 minutos, 1 km en el ^3.er minuto, 1 km en el 4. ^° minuto, 1,3 km en el 5. ^° minuto, y así sucesivamente.

Ahora, este es un resumen decente, lo suficientemente preciso como para conocer la distancia recorrida. La definición formal es "la velocidad es una función del tiempo", lo que significa que podemos sustituir el valor del tiempo y la velocidad para obtener la distancia o el valor de la distancia y el tiempo para obtener la velocidad.

Distancia = ∫ Velocidad(t)× Tiempo

Donde velocidad denota la velocidad en un momento dado. Dado que speed(t) = 2t en nuestro caso, podemos escribir:

Distancia = ∫ 2t × t

Sin embargo, esta ecuación todavía parece extraña. “t” siempre parece ser un solo momento que debemos elegir (por ejemplo, t=3 segundos), lo que implica que la velocidad (t) tomaría un solo valor. Eso no es apropiado.

Podemos dar un paso y suponer que es válido para todo el rectángulo usando la multiplicación regular. Sin embargo, las velocidades de cambio requieren un enfoque gradual para combinar el ritmo y el tiempo de cada segundo.

Cuando los números no cambian, la multiplicación normal es un caso especial de integración. Una calculadora de antiderivadas en línea (integral) podría ser muy útil en esta etapa.

¿Qué tener en cuenta al multiplicar parte por parte?

Surge una duda al multiplicar parte por parte. ¿Qué tan grande es una "parte"? ¿Es esa parte una distancia en metros o kilómetros, una velocidad en metros por segundo o un tiempo en segundos, minutos u horas?

La parte es lo suficientemente pequeña como para que el significado parezca ser el mismo durante el período. No requerimos precisión absoluta.

Los límites se inventaron para ayudarnos con la multiplicación parte por parte. Aunque son útiles, son una solución a un dilema que puede desviar la atención de la percepción de unir cosas. Me irrita que las limitaciones se impongan desde el principio del cálculo antes de que comprendamos el problema para el que fueron diseñadas. Son un concepto útil, sin duda, pero Newton parecía comprender el cálculo muy bien sin ellos.

Supongamos que estamos tratando con un intervalo de 4 a 5 segundos.

La velocidad inicial (4 x 3 = 12 mph) difiere de la velocidad final (5 x 4 = 20 mph). Ahora que tenemos dos velocidades, ¿cómo obtendremos la distancia y qué valor de velocidad se usará?

La solución es que dividimos la velocidad en fragmentos lo suficientemente pequeños (4.000 a 4.001 segundos) hasta que la brecha en el ritmo entre el inicio y el final del ciclo no nos importe. Nuevamente, esta es una conversación más larga, pero hay un lapso de tiempo que hace que la diferencia sea insignificante.

En un gráfico, visualice cada intervalo como un solo punto en el diagrama. Puede dibujar una línea recta hasta cada velocidad, y su "área" es una colección de líneas que se multiplican.

Envolviendolo

Era difícil separar una “parte” de su valor. El período en consideración se denomina "parte" (1 nanosegundo, 1 milisegundo o 1 segundo). La posición es el comienzo del intervalo de nanosegundos, milisegundos o segundos. El valor representa la velocidad en ese punto.

Una vez más, el cálculo permite reducir el intervalo hasta que no podemos decir la diferencia de ritmo entre el comienzo y el final del intervalo. Esté atento al panorama general porque al usar este método, multiplicamos integrales parte por parte. Lo que hace que todo el proceso sea mucho más simple.