Comprendre la multiplication intégrale étape par étape
Publié: 2021-05-19
Les intégrales sont également définies comme la localisation de la région sous une courbe. Cette définition est trop étroite. C'est comme prétendre que la multiplication arrive à localiser le champ de rectangles. La zone de calcul est une application intéressante, mais pas le but de la multiplication.
Vous entendrez beaucoup de discussions sur la région. L'aire n'est qu'une façon d'imaginer la multiplication. L'astuce n'est pas le champ, mais le concept de mélange de quantités pour produire un nouveau résultat. Nous pouvons intégrer ("multiplier") la longueur et la largeur pour obtenir un vieux champ simple, bien sûr. Mais nous pouvons intégrer la vitesse et le temps pour obtenir la taille, ou le poids, la largeur et la hauteur pour obtenir le volume.
Lorsque nous essayons d'utiliser la multiplication standard, mais que nous n'y parvenons pas, nous sortons les gros canons et les combinons. La zone n'est qu'une technique de simulation, alors ne vous y laissez pas trop emporter.
Comprendre la multiplication dans le contexte des intégrales
Au fil du temps, notre interprétation de la multiplication a évolué :
La multiplication est l'addition répétée d'entiers (2 x 5). La multiplication est mise à l'échelle pour les nombres réels (4,9 x √4). La multiplication consiste à lancer et à mettre à l'échelle en cas de nombres négatifs (- 6,2 × 9,8). La multiplication consiste également à mettre à l'échelle et à faire pivoter des nombres complexes (5 × 2i).
Nous nous dirigeons vers un concept plus large d '«application» d'un nombre à un autre, les propriétés que nous utilisons variant. L'intégration est la prochaine étape de ce voyage.
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Comment le territoire entre-t-il en jeu ?
La région est un sujet compliqué. Pour le moment, considérez l'aire comme une représentation visuelle de la multiplication sur un graphique. Nous pouvons ajouter un axe et obtenir un résultat pour chaque compte sur un axe différent qui sera de 12 unités carrées. Les propriétés de chaque entrée ont été transmises à la sortie en unités carrées.
N'est-ce pas simple ? C'est là que les choses se compliquent un peu. La multiplication donnera l'aire en négatif qui n'existe pas (2 x (-6) = -12).
Nous reconnaissons le graphique comme une représentation de la multiplication et employons la comparaison au besoin. Nous pouvions multiplier, même si quelqu'un était aveugle et qu'il n'y avait pas de diagrammes. La zone n'est qu'une supposition.
Multiplication partie par partie
Multipliez maintenant 2 par 6,5.
Étant donné que 6,5 n'est pas un décompte, nous pouvons utiliser une opération partie par partie. Si 2×6 est égal à 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, alors 2 x 6,5 est égal à 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 est égal à 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13
Nous multiplions 2 par 6,5. En d'autres termes, nous avons mélangé deux segments avec 6 segments entiers (2 x 6 = 12) et un segment partiel (2 x 0,5 = 1).
Nous sommes tellement habitués à la multiplication que nous en avons oublié l'efficacité. Nous pouvons diviser un nombre en unités (entières et partielles), multiplier chaque partie, puis additionner les résultats. Avez-vous vu comment nous avons géré une partie fractionnaire ? C'est le premier pas vers les intégrales.
Les chiffres ne restent pas nécessairement immobiles assez longtemps pour que nous puissions les additionner. Des situations comme « Vous avez roulé à 180 km/h pendant 50 minutes » sont pour la commodité, pas pour le réalisme.
Comment décrire un nombre variable ?
Notre premier test consiste à définir un nombre qui change. Nous ne pouvons pas simplement dire : « J'ai parcouru 20 km. Ce n'est pas si spécifique. Combien as-tu pris pour parcourir cette distance ?
Maintenant, soyons précis. Vous avez parcouru 1 km dans les 2 premières minutes, 1 km dans la 3 ème minute, 1 km dans la 4 ème minute, 1,3 km dans la 5 ème minute, etc.
Maintenant, c'est un résumé décent, suffisamment précis pour connaître votre distance parcourue. La définition formelle est "la vitesse est une fonction du temps", ce qui signifie que nous pouvons substituer la valeur du temps et de la vitesse pour obtenir la distance ou la valeur de la distance et du temps pour obtenir la vitesse.
Distance = ∫ Vitesse(t)× Temps
Où la vitesse désigne la vitesse à un instant donné. Puisque vitesse(t) = 2t dans notre cas, on peut écrire :
Distance = ∫ 2t × t
Pourtant, cette équation semble encore étrange. « t » semble toujours être un instant unique que nous devons choisir (par exemple, t=3 secondes), ce qui implique que speed(t) prendrait une valeur unique. Ce n'est pas approprié.
Nous pouvons prendre un pas et supposer que cela est vrai pour tout le rectangle en utilisant une multiplication régulière. Cependant, les changements de vitesse nécessitent une approche fragmentaire pour combiner le rythme et le temps pour chaque seconde.
Lorsque les nombres ne changent pas, la multiplication normale est un cas particulier d'intégration. Un calculateur de primitive en ligne (intégrale) pourrait être très pratique à ce stade.
Que faut-il considérer lors de la multiplication partie par partie?
Une question se pose lors de la multiplication partie par partie. Quelle est la taille d'une "partie" ? Cette partie est-elle une distance en mètres ou en kilomètres, une vitesse en mètres par seconde ou un temps en secondes, minutes ou heures ?
La partie est suffisamment petite pour que le sens semble être le même sur la période. Nous n'exigeons pas une précision absolue.
Les limites ont été inventées pour nous aider à multiplier partie par partie. Bien qu'ils soient utiles, ils sont une solution à un dilemme qui peut détourner l'attention de la perception de joindre des choses. Cela m'irrite que des limitations soient imposées au tout début du calcul avant que nous saisissions le problème pour lequel elles ont été conçues. C'est un concept utile, bien sûr, mais Newton semblait très bien saisir le calcul sans eux.
Supposons que nous avons affaire à un intervalle de 4 à 5 secondes.
La vitesse initiale (4 x 3 = 12 mph) diffère de la vitesse finale (5 x 4 = 20 mph). Maintenant que nous avons deux vitesses, comment obtiendrons-nous la distance et quelle valeur de vitesse utiliserons-nous ?
La solution est que nous divisons la vitesse en fragments suffisamment petits (4 000 à 4 001 secondes) jusqu'à ce que l'écart de rythme entre le début et la fin du cycle n'ait plus d'importance pour nous. Encore une fois, c'est une conversation plus longue, mais il y a un laps de temps qui rend la différence négligeable.
Sur un graphique, visualisez chaque intervalle comme un seul point sur le diagramme. Vous pouvez tracer une ligne droite jusqu'à chaque vitesse, et votre "zone" est une collection de lignes qui se multiplient.
Envelopper
Il était difficile de séparer une « pièce » de sa valeur. La période considérée est appelée « partie » (1 nanoseconde, 1 milliseconde ou 1 seconde). La position est le début de l'intervalle nanoseconde, milliseconde ou seconde. La valeur représente la vitesse à ce point.
Encore une fois, le calcul permet de réduire l'intervalle jusqu'à ce qu'on ne puisse plus dire la différence de rythme entre le début et la fin de l'intervalle. Gardez un œil sur l'image plus grande car en utilisant cette méthode, nous multiplions les intégrales partie par partie. Ce qui rend l'ensemble du processus très simple.