Memahami Perkalian Integral Langkah Demi Langkah

Integral juga didefinisikan sebagai penempatan daerah di bawah kurva. Definisi ini terlalu sempit. Ini seperti mengklaim perkalian terjadi untuk menemukan bidang persegi panjang. Area penghitungan adalah aplikasi yang bermanfaat, tetapi bukan tujuan perkalian.

Anda akan mendengar banyak diskusi tentang daerah tersebut. Luas hanyalah salah satu cara untuk membayangkan perkalian. Triknya bukan lapangan, tapi konsep pencampuran kuantitas untuk menghasilkan hasil baru. Kami dapat mengintegrasikan ("menggandakan") panjang dan lebar untuk mendapatkan bidang lama yang polos, tentu saja. Tapi kita bisa mengintegrasikan kecepatan dan waktu untuk mendapatkan ukuran, atau berat, lebar, dan tinggi untuk mendapatkan volume.

Ketika kami mencoba menggunakan perkalian standar, tetapi tidak bisa, kami mengeluarkan senjata besar dan menggabungkannya. Area ini hanyalah teknik simulasi, jadi jangan terlalu sibuk dengannya.

Memahami perkalian dalam konteks integral

Seiring waktu, interpretasi kami tentang perkalian berkembang:

Perkalian adalah penjumlahan berulang dari bilangan bulat (2 x 5). Perkalian adalah penskalaan untuk bilangan real (4,9 x 4). Perkalian adalah lempar dan penskalaan dalam kasus angka negatif (- 6.2 × 9.8). Perkalian juga menskalakan dan memutar bilangan kompleks (5 × 2i).

Kami bergerak menuju konsep yang lebih luas dari "menerapkan" satu nomor ke nomor lain, dengan properti yang kami gunakan akan bervariasi. Integrasi adalah langkah selanjutnya dalam perjalanan ini.

Baca Juga: The Numbers Game: Mengapa Cloud Accounting Adalah Masa Depan

Bagaimana daerah itu ikut bermain?

Daerah adalah topik yang rumit. Untuk saat ini, pertimbangkan area tersebut sebagai representasi visual perkalian pada grafik. Kita dapat menambahkan sumbu dan mendapatkan hasil untuk setiap hitungan pada sumbu yang berbeda yang akan menjadi 12 unit persegi. Setiap properti input diteruskan ke output dalam satuan persegi.

Bukankah itu sederhana? Di sinilah segalanya menjadi sedikit rumit. Perkalian akan menghasilkan luas dalam negatif yang tidak ada (2 x (-6) = -12).

Kami mengenali grafik sebagai representasi perkalian dan menggunakan perbandingan sesuai kebutuhan. Kita bisa mengalikan, meskipun seseorang buta dan tidak ada diagram. Daerah itu hanya dugaan.

Bagian demi Bagian Perkalian

Sekarang kalikan 2 dengan 6,5.

Karena 6,5 ​​bukan hitungan, kami dapat menggunakan operasi bagian demi bagian. Jika 2×6 sama dengan 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, maka 2 x 6,5 sama dengan 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 sama dengan 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Kami mengalikan 2 dengan 6,5. Dengan kata lain, kami mencampur dua segmen dengan 6 segmen utuh (2 x 6= 12) dan satu segmen parsial (2 x 0,5 = 1).

Kami sangat terbiasa dengan perkalian sehingga kami lupa seberapa efektifnya. Kita dapat membagi angka menjadi unit (seluruh dan sebagian), mengalikan setiap bagian, dan kemudian menjumlahkan hasilnya. Pernahkah Anda melihat bagaimana kami menangani bagian pecahan? Ini adalah langkah pertama menuju integral.

Angka-angka tidak selalu duduk diam cukup lama bagi kita untuk menjumlahkannya. Situasi seperti "Anda mengemudi 180 km/jam selama 50 menit" adalah untuk kenyamanan, bukan realisme.

Bagaimana cara menggambarkan angka yang bervariasi?

Tes pertama kami adalah menentukan angka yang berubah. Kita tidak bisa begitu saja mengatakan, “Saya telah menempuh jarak 20 km.” Ini tidak begitu spesifik. Berapa banyak yang Anda ambil untuk menempuh jarak itu?

Sekarang mari kita tepat. Anda telah menempuh 1 km dalam 2 menit pertama, 1 km pada menit ke- ³ , 1 km pada menit ^ke- 4, dan 1,3 km pada menit ^ke- 5, dan seterusnya.

Sekarang, ini adalah ringkasan yang layak, cukup tepat untuk mengetahui jarak yang Anda tempuh. Definisi formal adalah “kecepatan adalah fungsi waktu”, yang berarti kita dapat mengganti nilai waktu dan kecepatan untuk mendapatkan jarak atau nilai jarak dan waktu untuk mendapatkan kecepatan.

Jarak = Kecepatan(t)× Waktu

Dimana kecepatan menunjukkan kecepatan pada waktu tertentu. Karena kecepatan(t) = 2t dalam kasus kami, kami dapat menulis:

Jarak = 2t × t

Namun persamaan ini masih tampak aneh. “t” sepertinya selalu menjadi satu momen yang harus kita pilih (misalnya, t=3 detik), menyiratkan bahwa kecepatan(t) akan mengambil nilai tunggal. Itu tidak pantas.

Kita dapat mengambil satu langkah dan menganggap itu berlaku untuk seluruh persegi panjang dengan menggunakan perkalian biasa. Namun, pergeseran kecepatan memerlukan pendekatan sedikit demi sedikit untuk menggabungkan kecepatan dan waktu untuk setiap detik.

Bila bilangan tidak berubah, perkalian normal adalah kasus integrasi khusus. Kalkulator antiturunan online (integral) bisa sangat berguna pada tahap ini.

Apa yang harus dipertimbangkan saat mengalikan bagian demi bagian?

Sebuah pertanyaan muncul ketika mengalikan bagian demi bagian. Seberapa besar "bagian" itu? Apakah bagian itu jarak dalam meter atau kilometer, kecepatan dalam meter per detik, atau waktu dalam detik, menit, atau jam?

Bagiannya cukup kecil sehingga artinya tampaknya sama selama periode tersebut. Kami tidak membutuhkan akurasi absolut.

Batas diciptakan untuk membantu kita dengan perkalian bagian demi bagian. Meskipun mereka membantu, mereka adalah solusi untuk dilema yang dapat mengalihkan perhatian dari persepsi tentang bergabung. Ini mengganggu saya bahwa batasan dikenakan pada awal kalkulus sebelum kita memahami masalah yang mereka rancang. Mereka adalah konsep yang berguna, tentu saja, tetapi Newton tampaknya memahami kalkulus dengan baik tanpa mereka.

Mari kita asumsikan kita berurusan dengan interval dari 4 hingga 5 detik.

Kecepatan awal (4 x 3 = 12mph) berbeda dari kecepatan akhir (5 x 4 = 20mph). Sekarang kita memiliki dua kecepatan, bagaimana kita mendapatkan jarak, dan berapa nilai kecepatan yang akan digunakan?

Solusinya adalah kita membagi kecepatan menjadi bagian-bagian yang cukup kecil (4.000 hingga 4.001 detik) sampai jarak antara awal dan akhir siklus tidak menjadi masalah bagi kita. Sekali lagi, ini adalah percakapan yang lebih panjang, tetapi ada rentang waktu yang membuat perbedaannya tidak berarti.

Pada grafik, visualisasikan setiap interval sebagai satu titik pada diagram. Anda dapat menggambar garis lurus ke setiap kecepatan, dan "area" Anda adalah kumpulan garis yang berlipat ganda.

Membungkusnya

Sulit untuk memisahkan "bagian" dari nilainya. Periode yang dipertimbangkan disebut sebagai "bagian" (1 nanodetik, 1 milidetik, atau 1 detik). Posisi adalah awal dari interval nanodetik, milidetik, atau detik. Nilai mewakili kecepatan pada saat itu.

Sekali lagi, kalkulus memungkinkan seseorang untuk mengecilkan interval sampai kita tidak dapat mengatakan perbedaan kecepatan antara awal dan akhir interval. Perhatikan gambar yang lebih besar karena dengan menggunakan metode ini, kita mengalikan integral bagian demi bagian. Yang membuat seluruh proses menjadi sangat sederhana.