Capire passo dopo passo la moltiplicazione integrale

Gli integrali sono anche definiti come localizzando la regione sotto una curva. Questa definizione è troppo restrittiva. È come affermare che la moltiplicazione avvenga per individuare il campo dei rettangoli. L'area di calcolo è un'applicazione utile, ma non lo scopo della moltiplicazione.

Sentirai molte discussioni sulla zona. L'area è solo un modo per immaginare la moltiplicazione. Il trucco non è il campo, ma il concetto di mescolare le quantità per produrre un nuovo risultato. Possiamo integrare ("moltiplicare") lunghezza e larghezza per ottenere un semplice campo vecchio, certo. Ma possiamo integrare velocità e tempo per ottenere le dimensioni, o peso, larghezza e altezza per ottenere volume.

Quando proviamo a usare la moltiplicazione standard, ma non ci riusciamo, estraiamo i pezzi grossi e li combiniamo. L'area è solo una tecnica di simulazione, quindi non lasciarti coinvolgere troppo da essa.

Comprendere la moltiplicazione nel contesto degli integrali

Nel tempo, la nostra interpretazione della moltiplicazione si è evoluta:

La moltiplicazione è l'addizione ripetuta di numeri interi (2 x 5). La moltiplicazione viene ridimensionata per i numeri reali (4,9 x √4). La moltiplicazione viene lanciata e ridimensionata in caso di numeri negativi (- 6,2 × 9,8). La moltiplicazione è anche scalare e ruotare numeri complessi (5 × 2i).

Ci stiamo muovendo verso un concetto più ampio di "applicare" un numero a un altro, con le proprietà che usiamo varieranno. L'integrazione è il prossimo passo in questo viaggio.

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Come entra in gioco il territorio?

La zona è un argomento complicato. Per il momento, considera l'area come una rappresentazione visiva della moltiplicazione su un grafico. Possiamo aggiungere un asse e ottenere un risultato per ogni conteggio su un asse diverso che sarà di 12 unità quadrate. Le proprietà di ogni input sono state passate all'output in unità quadrate.

Non è semplice? È qui che le cose si complicano un po'. La moltiplicazione darà l'area in negativo che non esiste (2 x (-6) = -12).

Riconosciamo il grafico come una rappresentazione della moltiplicazione e utilizziamo il confronto come richiesto. Potremmo moltiplicare, anche se qualcuno era cieco e non c'erano diagrammi. La zona è solo una supposizione.

Moltiplicazione parte per parte

Ora moltiplica 2 per 6,5.

Poiché 6,5 non è un conteggio, possiamo utilizzare un'operazione parte per parte. Se 2×6 è uguale a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, quindi 2 x 6,5 è uguale a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 è uguale a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Moltiplichiamo 2 per 6,5. In altre parole, abbiamo mescolato due segmenti con 6 segmenti interi (2 x 6= 12) e un segmento parziale (2 x 0,5 = 1).

Siamo così abituati alla moltiplicazione che abbiamo dimenticato quanto sia efficace. Possiamo dividere un numero in unità (intero e parziale), moltiplicare ciascuna parte e quindi sommare i risultati. Hai visto come abbiamo gestito una parte frazionaria? Questo è il primo passo verso gli integrali.

I numeri non stanno necessariamente fermi abbastanza a lungo per poterli sommare. Situazioni come "Hai guidato a 180 km/h per 50 minuti" sono per comodità, non per realismo.

Come descrivere un numero variabile?

Il nostro primo test è definire un numero che sta cambiando. Non possiamo semplicemente dire: "Ho percorso 20 km". Non è così specifico. Quanto hai preso per coprire quella distanza?

Ora diventiamo precisi. Hai percorso 1 km nei primi 2 minuti, 1 km nel 3 ^° minuto, 1 km nel 4 ^° minuto e 1,3 km nel 5 ^° minuto e così via.

Ora, questo è un riassunto decente, abbastanza preciso da conoscere la distanza percorsa. La definizione formale è "la velocità è una funzione del tempo", il che significa che possiamo sostituire il valore del tempo e della velocità per ottenere la distanza o il valore della distanza e del tempo per ottenere la velocità.

Distanza = ∫ Velocità(t)× Tempo

Dove velocità indica la velocità in un dato momento. Poiché nel nostro caso speed(t) = 2t, possiamo scrivere:

Distanza = ∫ 2t × t

Eppure questa equazione sembra ancora strana. “t” sembra sempre essere un singolo momento che dobbiamo scegliere (ad esempio, t=3 secondi), il che implica che speed(t) assumerebbe un unico valore. Non è appropriato.

Possiamo prendere un passo e assumere che vale per l'intero rettangolo usando la moltiplicazione regolare. Tuttavia, il cambio di velocità richiede un approccio frammentario per combinare ritmo e tempo per ogni secondo.

Quando i numeri non cambiano, la moltiplicazione normale è un caso speciale di integrazione. Un calcolatore di antiderivate online (integrale) potrebbe essere molto utile in questa fase.

Cosa considerare quando si moltiplica parte per parte?

Una domanda sorge quando si moltiplica parte per parte. Quanto è grande una "parte"? Quella parte è una distanza in metri o chilometri, una velocità in metri al secondo o un tempo in secondi, minuti o ore?

La parte è abbastanza piccola che il significato sembra essere lo stesso nel periodo. Non richiediamo una precisione assoluta.

I limiti sono stati inventati per aiutarci con la moltiplicazione parte per parte. Sebbene siano utili, sono una soluzione a un dilemma che può distogliere l'attenzione dalla percezione di unire le cose. Mi irrita il fatto che i limiti vengano imposti proprio all'inizio del calcolo prima di comprendere il problema per cui sono stati progettati. Sono un concetto utile, certo, ma Newton sembrava afferrare bene il calcolo senza di loro.

Supponiamo di avere a che fare con un intervallo da 4 a 5 secondi.

La velocità iniziale (4 x 3 = 12 mph) differisce dalla velocità finale (5 x 4 = 20 mph). Ora che abbiamo due velocità, come otterremo la distanza e quale valore di velocità verrà utilizzato?

La soluzione è che dividiamo la velocità in frammenti abbastanza piccoli (da 4.000 a 4.001 secondi) fino a quando il divario di ritmo tra l'inizio e la fine del ciclo non ci interessa. Ancora una volta, questa è una conversazione più lunga, ma c'è un intervallo di tempo che rende la differenza trascurabile.

Su un grafico, visualizza ogni intervallo come un singolo punto sul diagramma. Puoi tracciare una linea retta fino a ciascuna velocità e la tua "area" è una raccolta di linee che si moltiplicano.

Avvolgendolo

Era difficile separare una “parte” dal suo valore. Il periodo in esame è indicato come una "parte" (1 nanosecondo, 1 millisecondo o 1 secondo). La posizione è l'inizio dell'intervallo di nanosecondi, millisecondi o secondi. Il valore rappresenta la velocità in quel punto.

Ancora una volta, il calcolo consente di ridurre l'intervallo fino a quando non possiamo dire la differenza di ritmo tra l'inizio e la fine dell'intervallo. Tieni d'occhio l'immagine più grande perché usando questo metodo moltiplichiamo gli integrali parte per parte. Il che rende l'intero processo molto semplice.