적분 곱셈의 단계별 이해
게시 됨: 2021-05-19
적분은 곡선 아래 영역을 찾는 것으로도 정의됩니다. 이 정의는 너무 좁습니다. 곱셈이 직사각형 필드를 찾는 것과 같다고 주장하는 것과 같습니다. 계산 영역은 가치 있는 응용 프로그램이지만 곱셈의 목적은 아닙니다.
지역에 대한 많은 논의를 듣게 될 것입니다. 이 영역은 곱셈을 상상하는 한 가지 방법일 뿐입니다. 트릭은 필드가 아니라 새로운 결과를 생성하기 위해 양을 혼합하는 개념입니다. 길이와 너비를 통합("곱하기")하여 평범한 오래된 필드를 얻을 수 있습니다. 그러나 속도와 시간을 통합하여 크기를 얻거나 무게, 너비 및 높이를 통합하여 부피를 얻을 수 있습니다.
표준 곱셈을 사용하려고 하지만 사용할 수 없는 경우 큰 총을 꺼내서 결합합니다. 이 영역은 시뮬레이션 기술일 뿐이므로 너무 얽매이지 마십시오.
적분의 맥락에서 곱셈 이해하기
시간이 지남에 따라 곱셈에 대한 우리의 해석은 다음과 같이 발전했습니다.
곱셈은 정수(2 x 5)를 반복적으로 더하는 것입니다. 곱셈은 실수(4.9 x √4)에 대한 스케일링입니다. 곱셈은 음수(-6.2 × 9.8)의 경우 던지기 및 크기 조정입니다. 곱셈은 또한 복소수(5 × 2i)의 크기를 조정하고 회전하는 것입니다.
우리는 하나의 숫자를 다른 숫자에 "적용"하는 더 넓은 개념으로 나아가고 있으며, 우리가 사용하는 속성은 다양할 것입니다. 통합은 이 여정의 다음 단계입니다.
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영역은 어떻게 작동합니까?
영역은 복잡한 주제입니다. 당분간은 이 영역을 그래프에서 곱셈을 시각적으로 표현하는 것으로 간주합니다. 축을 추가하고 12제곱 단위가 되는 다른 축의 각 개수에 대한 결과를 얻을 수 있습니다. 각 입력의 속성은 제곱 단위로 출력에 전달되었습니다.
간단하지 않습니까? 여기서 상황이 조금 복잡해집니다. 곱셈은 존재하지 않는 음수 영역을 제공합니다(2 x (-6) = -12).
우리는 그래프를 곱셈의 표현으로 인식하고 필요에 따라 비교를 사용합니다. 누군가 눈이 멀고 도표가 없더라도 우리는 번식할 수 있었습니다. 지역은 어디까지나 가정일 뿐입니다.
부품별 곱셈
이제 2에 6.5를 곱합니다.
6.5는 카운트가 아니므로 부품별 작업을 사용할 수 있습니다. 2×6이 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2와 같으면 2 x 6.5는 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0.5와 같습니다. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13
2에 6.5를 곱합니다. 즉, 2개의 세그먼트를 6개의 전체 세그먼트(2 x 6= 12)와 하나의 부분 세그먼트(2 x 0.5 = 1)로 혼합했습니다.
우리는 곱셈에 너무 익숙해서 그것이 얼마나 효과적인지 잊어버렸습니다. 숫자를 단위(전체 및 부분)로 나누고 각 부분을 곱한 다음 결과를 합산할 수 있습니다. 우리가 분수 부분을 어떻게 처리했는지 보았습니까? 이것은 적분을 향한 첫 번째 단계입니다.
숫자는 우리가 더하기에는 충분하지 않습니다. "50분 동안 180km/h를 운전했습니다"와 같은 상황은 사실주의가 아니라 편의를 위한 것입니다.
변하는 수를 어떻게 설명할 것인가?
첫 번째 테스트는 변화하는 숫자를 정의하는 것입니다. 우리는 단순히 "20km를 주행했습니다"라고 말할 수 없습니다. 그렇게 구체적이지 않습니다. 그 거리를 커버하기 위해 얼마나 들었습니까?
이제 정확하게 알아봅시다. 처음 2분에 1km, 3 분에 1km, 4분에 1km , 5분에 1.3km 등을 이동했습니다.
이제 이것은 적절한 요약이며, 커버된 거리를 알 수 있을 만큼 정확합니다. 공식 정의는 "속도는 시간의 함수"입니다. 즉, 거리를 얻기 위해 시간과 속도의 값을 대입하거나 속도를 얻기 위해 거리와 시간의 값을 대입할 수 있음을 의미합니다.
거리 = ∫ 속도(t)× 시간
여기서 속도는 주어진 시간의 속도를 나타냅니다. 우리의 경우 speed(t) = 2t이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
거리 = ∫ 2t × t
그러나 이 방정식은 여전히 이상해 보입니다. "t"는 항상 우리가 선택해야 하는 단일 순간인 것처럼 보입니다(예: t=3초). 이는 speed(t)가 단일 값을 취한다는 것을 의미합니다. 그것은 적절하지 않습니다.
규칙적인 곱셈을 사용하여 전체 직사각형에 대해 한 걸음 더 나아가 이것이 사실이라고 가정할 수 있습니다. 그러나 변속 속도는 초당 속도와 시간을 결합하는 단편적인 접근을 필요로 합니다.
숫자가 변경되지 않으면 일반적인 곱셈은 적분의 특별한 경우입니다. 이 단계에서 온라인 역도함수 계산기(적분)가 매우 유용할 수 있습니다.
부품을 부품으로 곱할 때 고려해야 할 사항은 무엇입니까?
부분을 부분으로 곱할 때 질문이 발생합니다. "부분"의 크기는 얼마입니까? 그 부분은 미터 또는 킬로미터 단위의 거리, 초당 미터 단위의 속도 또는 초, 분 또는 시간 단위의 시간입니까?
그 부분은 기간이 지나도 의미가 같다고 느껴질 정도로 작습니다. 우리는 절대적인 정확성을 요구하지 않습니다.
극한은 부분 곱셈을 지원하기 위해 발명되었습니다. 그것들은 도움이 되기는 하지만, 사물을 결합한다는 인식에서 주의를 분산시킬 수 있는 딜레마에 대한 해결책입니다. 제한이 의도된 문제를 파악하기 전에 미적분학의 맨 처음에 제한이 부과된다는 사실이 저를 짜증나게 합니다. 그것들은 확실히 유용한 개념이지만 Newton은 그것들 없이도 미적분학을 잘 이해하는 것 같았습니다.
4초에서 5초 사이의 간격을 처리한다고 가정해 보겠습니다.
초기 속도(4 x 3 = 12mph)는 최종 속도(5 x 4 = 20mph)와 다릅니다. 이제 두 개의 속도가 있으므로 거리를 어떻게 구하고 속도의 값은 무엇입니까?
해결책은 주기의 시작과 끝 사이의 속도 차이가 우리에게 중요하지 않을 때까지 속도를 충분히 작은 조각(4.000~4.001초)으로 나누는 것입니다. 다시 말하지만, 이것은 더 긴 대화이지만 그 차이를 무시할 수 있는 시간 범위가 있습니다.
그래프에서 각 구간을 다이어그램의 단일 점으로 시각화합니다. 각 속도까지 직선을 그릴 수 있으며 "영역"은 곱하는 선의 모음입니다.
포장하기
그 가치에서 "부분"을 분리하는 것은 어려웠습니다. 고려 중인 기간을 "부분"(1나노초, 1밀리초 또는 1초)이라고 합니다. 위치는 나노초, 밀리초 또는 초 간격의 시작입니다. 값은 해당 지점의 속도를 나타냅니다.
다시 한 번, 미적분학을 사용하면 간격의 시작과 끝 사이의 속도 차이를 말할 수 없을 때까지 간격을 줄일 수 있습니다. 이 방법을 사용하여 부분별로 적분을 곱하기 때문에 더 큰 그림을 주시하십시오. 그러면 전체 프로세스가 훨씬 간단해집니다.