Zrozumienie mnożenia całkowego krok po kroku

Całki są również definiowane jako umieszczanie obszaru pod krzywą. Ta definicja jest zbyt wąska. To tak, jakby twierdzić, że mnożenie się dzieje, aby zlokalizować pole prostokątów. Pole obliczeniowe jest wartościową aplikacją, ale nie celem mnożenia.

Usłyszysz wiele dyskusji na temat tego obszaru. Obszar to tylko jeden sposób na wyobrażenie sobie mnożenia. Sztuką nie jest pole, ale koncepcja mieszania ilości w celu uzyskania nowego rezultatu. Możemy zintegrować („pomnożyć”) długość i szerokość, aby uzyskać zwykłe stare pole, na pewno. Ale możemy zintegrować szybkość i czas, aby uzyskać rozmiar, wagę, szerokość i wysokość, aby uzyskać objętość.

Kiedy próbujemy użyć standardowego mnożenia, ale nie możemy, wyciągamy wielkie działa i łączymy je. Ten obszar jest tylko techniką symulacyjną, więc nie daj się w to za bardzo pochłonąć.

Rozumienie mnożenia w kontekście całek

Z biegiem czasu nasza interpretacja mnożenia ewoluowała:

Mnożenie to wielokrotne dodawanie liczb całkowitych (2 x 5). Mnożenie to skalowanie liczb rzeczywistych (4,9 x √4). Mnożenie to podrzucanie i skalowanie w przypadku liczb ujemnych (- 6,2 × 9,8). Mnożenie to także skalowanie i obracanie liczb zespolonych (5 × 2i).

Zmierzamy w kierunku szerszej koncepcji „stosowania” jednej liczby do drugiej, przy czym właściwości, których używamy, będą się różnić. Integracja to kolejny krok w tej podróży.

Przeczytaj także: Gra liczb: dlaczego księgowość w chmurze to przyszłość

Jak ten obszar wchodzi w grę?

Obszar to skomplikowany temat. Na razie potraktuj ten obszar jako wizualną reprezentację mnożenia na wykresie. Możemy dodać oś i uzyskać wynik dla każdego zliczenia na innej osi, który będzie wynosił 12 jednostek kwadratowych. Właściwości każdego wejścia były przekazywane do wyjścia w jednostkach kwadratowych.

Czy to nie jest proste? Tutaj sprawy się trochę komplikują. Mnożenie da pole w negatywie, które nie istnieje (2 x (-6) = -12).

Rozpoznajemy wykres jako reprezentację mnożenia i stosujemy porównanie zgodnie z wymaganiami. Mogliśmy pomnożyć, mimo że ktoś był niewidomy i nie było wykresów. Okolica to tylko przypuszczenie.

Mnożenie części po części

Teraz pomnóż 2 przez 6,5.

Ponieważ 6.5 nie jest liczbą, możemy użyć operacji część po części. Jeśli 2×6 równa się 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, więc 2 x 6,5 równa się 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 równa się 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Mnożymy 2 przez 6,5. Innymi słowy, zmieszaliśmy dwa segmenty z 6 całymi segmentami (2 x 6 = 12) i jednym segmentem częściowym (2 x 0,5 = 1).

Jesteśmy tak przyzwyczajeni do mnożenia, że ​​zapomnieliśmy o jego skuteczności. Możemy podzielić liczbę na jednostki (całe i częściowe), pomnożyć każdą część, a następnie zsumować wyniki. Widziałeś, jak radziliśmy sobie z częścią ułamkową? To pierwszy krok w kierunku całek.

Liczby niekoniecznie pozostają na tyle długo, abyśmy mogli je zsumować. Sytuacje typu „Przejechałeś 180 km/h przez 50 minut” są dla wygody, a nie realizmu.

Jak opisać inną liczbę?

Nasz pierwszy test polega na zdefiniowaniu liczby, która się zmienia. Nie możemy po prostu powiedzieć: „Przejechałem 20 km”. To nie jest takie specyficzne. Ile zabrałeś, aby pokonać ten dystans?

Teraz bądźmy precyzyjni. Przejechałeś 1 km w ciągu pierwszych 2 minut, 1 km w ³ minucie, 1 km w 4 ^minucie , 1,3 km w 5 ^minucie i tak dalej.

Teraz jest to przyzwoite podsumowanie, wystarczająco dokładne, aby poznać pokonany dystans. Formalna definicja to „prędkość jest funkcją czasu”, co oznacza, że ​​możemy podstawić wartość czasu i prędkości, aby uzyskać odległość lub wartość odległości i czasu, aby uzyskać prędkość.

Odległość = ∫ Prędkość (t)× Czas

Gdzie prędkość oznacza prędkość w danym momencie. Ponieważ speed(t) = 2t w naszym przypadku możemy napisać:

Odległość = ∫ 2t × t

Jednak to równanie wciąż wydaje się dziwne. „t” zawsze wydaje się być pojedynczym momentem, który musimy wybrać (na przykład t=3 sekundy), co oznacza, że ​​prędkość(t) przyjmie pojedynczą wartość. To nie jest właściwe.

Możemy przyjąć jedno tempo i założyć, że dotyczy to całego prostokąta, używając zwykłego mnożenia. Jednak zmiana prędkości wymaga fragmentarycznego podejścia do łączenia tempa i czasu na każdą sekundę.

Gdy liczby się nie zmieniają, mnożenie normalne jest szczególnym przypadkiem całkowania. Na tym etapie bardzo przydatny może się okazać internetowy kalkulator funkcji pierwotnej (całka).

Co wziąć pod uwagę przy mnożeniu części przez część?

Pojawia się pytanie przy mnożeniu część po części. Jak duża jest „część”? Czy ta część to odległość w metrach lub kilometrach, prędkość w metrach na sekundę, czy czas w sekundach, minutach lub godzinach?

Ta część jest na tyle mała, że ​​znaczenie wydaje się być takie samo w tym okresie. Nie wymagamy absolutnej dokładności.

Granice zostały wymyślone, aby pomóc nam w mnożeniu część po części. Chociaż są pomocne, są rozwiązaniem dylematu, który może odwrócić uwagę od postrzegania łączenia rzeczy. Irytuje mnie, że ograniczenia nakłada się na samym początku rachunku różniczkowego, zanim zrozumiemy, do czego zostały stworzone. Z pewnością są to użyteczne koncepcje, ale Newton wydawał się doskonale rozumieć rachunek różniczkowy bez nich.

Załóżmy, że mamy do czynienia z interwałem od 4 do 5 sekund.

Prędkość początkowa (4 x 3 = 12 mil na godzinę) różni się od prędkości końcowej (5 x 4 = 20 mil na godzinę). Teraz, gdy mamy dwie prędkości, jak otrzymamy odległość i jaka wartość prędkości zostanie użyta?

Rozwiązaniem jest to, że dzielimy prędkość na wystarczająco małe fragmenty (od 4000 do 4001 sekundy), aż różnica w tempie pomiędzy początkiem i końcem cyklu nie będzie dla nas miała znaczenia. Ponownie, jest to dłuższa rozmowa, ale jest czas, przez który różnica jest znikoma.

Na wykresie zwizualizuj każdy przedział jako pojedynczy punkt na diagramie. Możesz narysować linię prostą do każdej prędkości, a Twój „obszar” to zbiór linii, które się mnożą.

Zawijanie tego

Trudno było oddzielić „część” od jej wartości. Rozważany okres jest określany jako „część” (1 nanosekunda, 1 milisekunda lub 1 sekunda). Pozycja jest początkiem przedziału nanosekundy, milisekundy lub sekundy. Wartość reprezentuje prędkość w tym punkcie.

Po raz kolejny rachunek różniczkowy pozwala na zmniejszenie interwału, aż nie będziemy w stanie powiedzieć różnicy w tempie między początkiem a końcem interwału. Miej oko na większy obraz, ponieważ używając tej metody mnożymy całki część po części. Co sprawia, że ​​cały proces jest bardzo prosty.