Entendendo a multiplicação integral passo a passo

As integrais também são definidas como localizar a região sob uma curva. Esta definição é muito estreita. É como afirmar que a multiplicação acontece para localizar o campo dos retângulos. A área de cálculo é uma aplicação válida, mas não o objetivo da multiplicação.

Você vai ouvir muita discussão sobre a área. A área é apenas uma maneira de imaginar a multiplicação. O truque não é o campo, mas o conceito de misturar quantidades para produzir um novo resultado. Podemos integrar (“multiplicar”) comprimento e largura para obter um campo simples e antigo, com certeza. Mas podemos integrar velocidade e tempo para obter o tamanho, ou peso, largura e altura para obter volume.

Quando tentamos usar a multiplicação padrão, mas não conseguimos, pegamos as grandes armas e as combinamos. A área é apenas uma técnica de simulação, então não se envolva muito nela.

Entendendo a multiplicação no contexto de integrais

Com o tempo, nossa interpretação da multiplicação evoluiu:

A multiplicação é a adição repetida de inteiros (2 x 5). A multiplicação é dimensionada para números reais (4,9 x √4). A multiplicação é lançada e dimensionada no caso de números negativos (- 6,2 × 9,8). A multiplicação também está dimensionando e girando números complexos (5 × 2i).

Estamos caminhando para um conceito mais amplo de “aplicar” um número a outro, com as propriedades que usamos variando. A integração é o próximo passo nesta jornada.

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Como a área entra em jogo?

A área é um tema complicado. Por enquanto, considere a área como uma representação visual da multiplicação em um gráfico. Podemos adicionar um eixo e obter um resultado para cada contagem em um eixo diferente, que será de 12 unidades quadradas. As propriedades de cada entrada foram passadas para a saída em unidades quadradas.

Não é simples? É aqui que as coisas ficam um pouco complicadas. A multiplicação dará a área em negativo que não existe (2 x (-6) = -12).

Reconhecemos o gráfico como uma representação da multiplicação e empregamos a comparação conforme necessário. Poderíamos multiplicar, mesmo que alguém fosse cego e não houvesse diagramas. A área é apenas uma suposição.

Multiplicação parte por parte

Agora multiplique 2 por 6,5.

Como 6,5 não é uma contagem, podemos usar uma operação parte por parte. Se 2 × 6 é igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, então 2 x 6,5 é igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 × 0,5 é igual a 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Estamos multiplicando 2 por 6,5. Em outras palavras, misturamos dois segmentos com 6 segmentos inteiros (2 x 6= 12) e um segmento parcial (2 x 0,5 = 1).

Estamos tão acostumados com a multiplicação que esquecemos como ela é eficaz. Podemos dividir um número em unidades (inteiro e parcial), multiplicar cada parte e somar os resultados. Você já viu como lidamos com uma parte fracionária? Este é o primeiro passo para integrais.

Os números não ficam necessariamente parados por tempo suficiente para que possamos somá-los. Situações como “Você dirigiu 180 km/h por 50 minutos” são por conveniência, não realismo.

Como descrever um número variável?

Nosso primeiro teste é definir um número que está mudando. Não podemos simplesmente dizer: “Eu percorri 20 km”. Não é tão específico. Quanto você levou para cobrir essa distância?

Agora vamos ser precisos. Você percorreu 1 km nos primeiros 2 minutos, 1 km no ^3º minuto, 1 km no ^4º minuto e 1,3 km no ^5º minuto e assim por diante.

Agora, este é um resumo decente, preciso o suficiente para saber sua distância percorrida. A definição formal é “a velocidade é uma função do tempo”, o que significa que podemos substituir o valor de tempo e velocidade para obter a distância ou o valor de distância e tempo para obter a velocidade.

Distância = ∫ Velocidade(t)× Tempo

Onde velocidade denota a velocidade em um determinado momento. Como velocidade(t) = 2t em nosso caso, podemos escrever:

Distância = ∫ 2t × t

No entanto, esta equação ainda parece estranha. “t” sempre parece ser um único momento que devemos escolher (por exemplo, t=3 segundos), implicando que speed(t) assumiria um único valor. Isso não é apropriado.

Podemos dar um passo e assumir que isso vale para todo o retângulo usando a multiplicação regular. No entanto, a mudança de velocidade exige uma abordagem fragmentada para combinar ritmo e tempo para cada segundo.

Quando os números não mudam, a multiplicação normal é um caso especial de integração. Uma calculadora antiderivada online (integral) pode ser muito útil nesta fase.

O que considerar ao multiplicar parte por parte?

Uma questão surge ao multiplicar parte por parte. Qual o tamanho de uma “parte”? Essa parte é uma distância em metros ou quilômetros, velocidade em metros por segundo ou tempo em segundos, minutos ou horas?

A parte é pequena o suficiente para que o significado pareça ser o mesmo ao longo do período. Não exigimos precisão absoluta.

Os limites foram inventados para nos ajudar na multiplicação parte por parte. Embora sejam úteis, são uma solução para um dilema que pode desviar a atenção da percepção de juntar as coisas. Irrita-me que as limitações sejam impostas logo no início do cálculo, antes de compreendermos a questão para a qual foram projetadas. Eles são um conceito útil, com certeza, mas Newton parecia entender o cálculo muito bem sem eles.

Vamos supor que estamos lidando com um intervalo de 4 a 5 segundos.

A velocidade inicial (4 x 3 = 12 mph) difere da velocidade final (5 x 4 = 20 mph). Agora que temos duas velocidades, como obteremos a distância e qual valor de velocidade será usado?

A solução é dividir a velocidade em fragmentos pequenos o suficiente (4.000 a 4.001 segundos) até que a diferença de ritmo entre o início e o fim do ciclo não importe para nós. Novamente, esta é uma conversa mais longa, mas há um intervalo de tempo que torna a diferença insignificante.

Em um gráfico, visualize cada intervalo como um único ponto no diagrama. Você pode desenhar uma linha reta até cada velocidade, e sua “área” é uma coleção de linhas que se multiplicam.

Embrulhando-o

Era difícil separar uma “parte” de seu valor. O período em consideração é referido como uma "parte" (1 nanossegundo, 1 milissegundo ou 1 segundo). A posição é o início do intervalo de nanossegundos, milissegundos ou segundos. O valor representa a velocidade naquele ponto.

Mais uma vez, o cálculo permite diminuir o intervalo até que não possamos dizer a diferença de ritmo entre o início e o fim do intervalo. Fique de olho na imagem maior porque, usando esse método, multiplicamos as integrais parte por parte. O que torna todo o processo muito simples.