Înțelegerea înmulțirii integrale pas cu pas

Integralele sunt, de asemenea, definite ca localizarea regiunii sub o curbă. Această definiție este prea restrânsă. Este ca și cum ai pretinde că înmulțirea se întâmplă pentru a localiza câmpul dreptunghiurilor. Aria de calcul este o aplicație utilă, dar nu scopul înmulțirii.

Veți auzi multe discuții despre zonă. Zona este doar o modalitate de a imagina multiplicarea. Trucul nu este domeniul, ci conceptul de amestecare a cantităților pentru a produce un rezultat nou. Putem integra („multiplica”) lungimea și lățimea pentru a obține un câmp vechi simplu, sigur. Dar putem integra viteza și timpul pentru a obține dimensiunea sau greutatea, lățimea și înălțimea pentru a obține volum.

Când încercăm să folosim înmulțirea standard, dar nu reușim, scoatem armele mari și le combinăm. Zona este doar o tehnică de simulare, așa că nu vă învăluiți prea mult în ea.

Înțelegerea înmulțirii în contextul integralelor

De-a lungul timpului, interpretarea noastră a înmulțirii a evoluat:

Înmulțirea este adunarea repetată a numerelor întregi (2 x 5). Înmulțirea este scalarea pentru numere reale (4,9 x √4). Înmulțirea este aruncarea și scalarea în cazul numerelor negative (- 6,2 × 9,8). Înmulțirea înseamnă, de asemenea, scalarea și rotirea numerelor complexe (5 × 2i).

Ne îndreptăm către un concept mai larg de „aplicare” unui număr la altul, proprietățile pe care le folosim vor fi diferite. Integrarea este următorul pas în această călătorie.

Citește și: Jocul numerelor: de ce contabilitatea în cloud este viitorul

Cum intră în joc zona?

Zona este un subiect complicat. Pentru moment, considerați zona ca fiind o reprezentare vizuală a înmulțirii pe un grafic. Putem adăuga o axă și obține un rezultat pentru fiecare numărare pe o axă diferită care va fi de 12 unități pătrate. Proprietățile fiecărei intrări au fost transmise ieșirii în unități pătrate.

Nu e simplu? Aici lucrurile se complică puțin. Înmulțirea va da aria în negativ care nu există (2 x (-6) = -12).

Recunoaștem graficul ca o reprezentare a înmulțirii și folosim comparația după cum este necesar. Ne-am putea înmulți, deși cineva era orb și nu existau diagrame. Zona este doar o presupunere.

Înmulțirea parte cu parte

Acum înmulțiți 2 cu 6,5.

Deoarece 6.5 nu este un număr, putem folosi o operație parte cu parte. Dacă 2×6 este egal cu 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, deci 2 x 6,5 este egal cu 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0,5 este egal cu 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

Înmulțim 2 cu 6,5. Cu alte cuvinte, am amestecat două segmente cu 6 segmente întregi (2 x 6= 12) și un segment parțial (2 x 0,5 = 1).

Suntem atât de obișnuiți cu înmulțirea încât am uitat cât de eficientă este. Putem împărți un număr în unități (întreg și parțial), înmulțim fiecare parte și apoi însumăm rezultatele. Ai văzut cum ne-am descurcat cu o parte fracțională? Acesta este primul pas către integrale.

Numerele nu stau neapărat nemișcate suficient de mult pentru ca noi să le adunăm. Situații precum „Ai condus cu 180 km/h timp de 50 de minute” sunt pentru comoditate, nu pentru realism.

Cum se descrie un număr diferit?

Primul nostru test este definirea unui număr care se schimbă. Nu putem spune pur și simplu: „Am parcurs 20 km”. Nu este atât de specific. Cât ai luat pentru a parcurge această distanță?

Acum să fim mai precisi. Ai parcurs 1 km în primele 2 minute, 1 km în al 3 ^-lea minut, 1 km în al 4- ^lea minut și 1,3 km în al 5- ^lea minut și așa mai departe.

Acum, acesta este un rezumat decent, suficient de precis pentru a vă cunoaște distanța parcursă. Definiția formală este „viteza este o funcție a timpului”, ceea ce înseamnă că putem înlocui valoarea timpului și vitezei pentru a obține distanța sau valoarea distanței și timpului pentru a obține viteza.

Distanța = ∫ Viteză(t)× Timp

Unde viteza denota viteza la un moment dat. Deoarece viteza(t) = 2t în cazul nostru, putem scrie:

Distanța = ∫ 2t × t

Cu toate acestea, această ecuație încă pare ciudată. „t” pare să fie întotdeauna un singur moment pe care trebuie să-l alegem (de exemplu, t=3 secunde), ceea ce înseamnă că viteza (t) ar lua o singură valoare. Nu este potrivit.

Putem face un pas și presupunem că este valabil pentru întregul dreptunghi utilizând înmulțirea regulată. Cu toate acestea, vitezele de schimbare necesită o abordare fragmentată pentru a combina ritmul și timpul pentru fiecare secundă.

Când numerele nu se schimbă, înmulțirea normală este un caz special de integrare. Un calculator antiderivat online (integral) ar putea fi foarte util în această etapă.

Ce să țineți cont atunci când înmulțiți parte cu parte?

O întrebare apare atunci când înmulțiți parte cu parte. Cât de mare este o „parte”? Este acea parte o distanță în metri sau kilometri, viteza în metru pe secundă sau timpul în secunde, minute sau ore?

Partea este suficient de mică încât semnificația pare să fie aceeași pe parcursul perioadei. Nu avem nevoie de precizie absolută.

Limitele au fost inventate pentru a ne ajuta cu înmulțirea parte cu parte. Deși sunt de ajutor, sunt o soluție la o dilemă care poate distrage atenția de la percepția de alăturare a lucrurilor. Mă irită faptul că limitările sunt impuse chiar la începutul calculului înainte de a înțelege problema pentru care au fost concepute. Sunt un concept util, cu siguranță, dar Newton părea să înțeleagă bine calculul fără ele.

Să presupunem că avem de-a face cu un interval de la 4 la 5 secunde.

Viteza inițială (4 x 3 = 12 mph) diferă de viteza finală (5 x 4 = 20 mph). Acum că avem două viteze, cum vom obține distanța și ce valoare a vitezei va fi folosită?

Soluția este că împărțim viteza în fragmente suficient de mici (4.000 până la 4.001 secunde) până când decalajul de ritm dintre începutul și sfârșitul ciclului nu contează pentru noi. Din nou, aceasta este o conversație mai lungă, dar există un interval de timp care face diferența neglijabilă.

Pe un grafic, vizualizați fiecare interval ca un singur punct pe diagramă. Puteți desena o linie dreaptă până la fiecare viteză, iar „zona” dvs. este o colecție de linii care se înmulțesc.

Încheind-o

Era dificil să separă o „parte” de valoarea ei. Perioada luată în considerare este denumită „parte” (1 nanosecundă, 1 milisecundă sau 1 secundă). Poziția este începutul intervalului de nanosecundă, milisecundă sau secundă. Valoarea reprezintă viteza în acel punct.

Încă o dată, calculul permite micșorarea intervalului până când nu putem spune diferența de ritm între începutul și sfârșitul intervalului. Fiți cu ochii pe imaginea mai mare, deoarece folosind această metodă, înmulțim integralele parte cu parte. Ceea ce face ca întregul proces să fie foarte simplu.