Понимание интегрального умножения шаг за шагом
Опубликовано: 2021-05-19
Интегралы также определяются как нахождение области под кривой. Это определение слишком узкое. Это все равно, что утверждать, что умножение происходит, чтобы определить местонахождение поля прямоугольников. Вычисление площади является полезным приложением, но не целью умножения.
Вы услышите много дискуссий об этом районе. Площадь — это только один из способов представить умножение. Хитрость заключается не в поле, а в концепции смешивания величин для получения нового результата. Конечно, мы можем интегрировать («умножить») длину и ширину, чтобы получить простое старое поле. Но мы можем интегрировать скорость и время, чтобы получить размер, или вес, ширину и высоту, чтобы получить объем.
Когда мы пытаемся использовать стандартное умножение, но не можем, мы достаем большие пушки и комбинируем их. Эта область — всего лишь техника симуляции, так что не слишком зацикливайтесь на ней.
Понимание умножения в контексте интегралов
Со временем наша интерпретация умножения изменилась:
Умножение — это многократное сложение целых чисел (2 х 5). Умножение — это масштабирование действительных чисел (4,9 x √4). Умножение является подбрасыванием и масштабированием в случае отрицательных чисел (- 6,2 × 9,8). Умножение также масштабирует и вращает комплексные числа (5 × 2i).
Мы движемся к более широкой концепции «применения» одного числа к другому, при этом используемые нами свойства будут различаться. Интеграция — следующий шаг на этом пути.
Читайте также: Игра чисел: почему будущее за облачным учетом
Как область вступает в игру?
Район - сложная тема. На данный момент считайте площадь визуальным представлением умножения на графике. Мы можем добавить ось и получить результат для каждого счета на другой оси, который будет равен 12 квадратным единицам. Свойства каждого входа передавались на выход в квадратных единицах.
Разве это не просто? Здесь все становится немного сложнее. Умножение даст отрицательную площадь, которой не существует (2 x (-6) = -12).
Мы распознаем график как представление умножения и используем сравнение по мере необходимости. Мы могли умножать, даже если кто-то был слеп и не было схем. Район просто предположение.
Умножение по частям
Теперь умножьте 2 на 6,5.
Поскольку 6,5 не считается, мы можем использовать операцию по частям. Если 2 × 6 равно 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2, то 2 x 6,5 равно 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 × 0,5 равно 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13
Мы умножаем 2 на 6,5. Другими словами, мы смешали два сегмента с 6 целыми сегментами (2 x 6 = 12) и одним неполным сегментом (2 x 0,5 = 1).
Мы так привыкли к умножению, что забыли, насколько оно эффективно. Мы можем разделить число на части (целые и частичные), умножить каждую часть, а затем просуммировать результаты. Вы видели, как мы обращались с дробной частью? Это первый шаг к интегралам.
Числа не обязательно остаются неподвижными достаточно долго, чтобы мы могли их сложить. Ситуации вроде «Вы ехали 50 минут со скоростью 180 км/ч» — для удобства, а не для реализма.
Как описать переменное число?
Наш первый тест — определить число, которое изменяется. Мы не можем просто сказать: «Я проехал 20 км». Это не так уж специфично. Сколько вам потребовалось, чтобы преодолеть это расстояние?
Теперь уточним. Вы проехали 1 км за первые 2 минуты, 1 км за 3- ю минуту, 1 км за 4- ю минуту, 1,3 км за 5- ю минуту и так далее.
Итак, это приличная сводка, достаточно точная, чтобы узнать пройденное расстояние. Формальное определение: «скорость является функцией времени», что означает, что мы можем подставить значение времени и скорости, чтобы получить расстояние, или значение расстояния и времени, чтобы получить скорость.
Расстояние = ∫ Скорость (t) × Время
Где скорость обозначает скорость в любой момент времени. Так как скорость(t) = 2t в нашем случае, мы можем написать:
Расстояние = ∫ 2t × t
И все же это уравнение все еще кажется странным. «t» всегда кажется одним моментом, который мы должны выбрать (например, t = 3 секунды), подразумевая, что скорость (t) будет принимать единственное значение. Это не подходит.
Мы можем взять один шаг и предположить, что это верно для всего прямоугольника, используя обычное умножение. Однако смена скоростей требует поэтапного подхода к объединению темпа и времени для каждой секунды.
Когда числа не меняются, обычное умножение является частным случаем интегрирования. Онлайн-калькулятор первообразной (интегральной) может быть очень удобен на этом этапе.
Что нужно учитывать при умножении по частям?
Возникает вопрос при умножении по частям. Насколько велика «часть»? Является ли эта часть расстоянием в метрах или километрах, скоростью в метре в секунду или временем в секундах, минутах или часах?
Часть достаточно мала, чтобы смысл оставался одинаковым на протяжении всего периода. Мы не требуем абсолютной точности.
Пределы были изобретены, чтобы помочь нам в умножении по частям. Хотя они полезны, они являются решением дилеммы, которая может отвлечь внимание от восприятия соединения вещей. Меня раздражает, что ограничения накладываются в самом начале исчисления, прежде чем мы понимаем проблему, для решения которой они были созданы. Безусловно, это полезная концепция, но Ньютон, похоже, прекрасно разбирался в исчислении и без них.
Предположим, мы имеем дело с интервалом от 4 до 5 секунд.
Начальная скорость (4 x 3 = 12 миль в час) отличается от конечной скорости (5 x 4 = 20 миль в час). Теперь, когда у нас есть две скорости, как мы получим расстояние и какое значение скорости будем использовать?
Решение состоит в том, что мы делим скорость на достаточно маленькие фрагменты (от 4.000 до 4.001 секунды) до тех пор, пока разрыв в темпе между началом и концом цикла не будет иметь для нас значения. Опять же, это более длинный разговор, но есть промежуток времени, который делает разницу незначительной.
На графике визуализируйте каждый интервал как одну точку на диаграмме. Вы можете нарисовать прямую линию для каждой скорости, и ваша «площадь» будет набором линий, которые умножаются.
Завершение
Трудно было отделить «часть» от ее ценности. Рассматриваемый период называется «частью» (1 наносекунда, 1 миллисекунда или 1 секунда). Позиция — это начало наносекундного, миллисекундного или секундного интервала. Значение представляет скорость в этой точке.
Опять же, исчисление позволяет сжимать интервал до тех пор, пока мы не сможем определить разницу в темпе между началом и концом интервала. Следите за общей картиной, потому что, используя этот метод, мы умножаем интегралы по частям. Что делает весь процесс намного проще.