ทำความเข้าใจการคูณอินทิกรัลทีละขั้นตอน

อินทิกรัลยังถูกกำหนดให้ระบุตำแหน่งภูมิภาคภายใต้เส้นโค้ง คำจำกัดความนี้แคบเกินไป มันเหมือนกับการอ้างว่าการคูณเกิดขึ้นเพื่อหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม พื้นที่การคำนวณเป็นแอปพลิเคชั่นที่คุ้มค่า แต่ไม่ใช่จุดประสงค์ของการคูณ

คุณจะได้ยินการอภิปรายมากมายเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่เป็นเพียงวิธีเดียวที่จะจินตนาการถึงการคูณ เคล็ดลับไม่ใช่ภาคสนาม แต่เป็นแนวคิดของการผสมปริมาณเพื่อสร้างผลลัพธ์ใหม่ เราสามารถรวมความยาวและความกว้าง ("คูณ") เข้าด้วยกันเพื่อให้ได้ฟิลด์เก่าธรรมดาแน่นอน แต่เราสามารถรวมความเร็วและเวลาเพื่อให้ได้ขนาด หรือน้ำหนัก ความกว้าง และความสูงเพื่อให้ได้ปริมาตร

เมื่อเราพยายามใช้การคูณแบบมาตรฐานแต่ทำไม่ได้ เราจะดึงปืนใหญ่ออกมาและรวมเข้าด้วยกัน พื้นที่นี้เป็นเพียงเทคนิคการจำลอง ดังนั้นอย่าเข้าไปยุ่งกับมันมากเกินไป

การทำความเข้าใจการคูณในบริบทของปริพันธ์

เมื่อเวลาผ่านไป การตีความการคูณของเราพัฒนาขึ้น:

การคูณคือการบวกจำนวนเต็มซ้ำๆ (2 x 5) การคูณกำลังขยายสำหรับจำนวนจริง (4.9 x √4) การคูณคือการทอยและมาตราส่วนในกรณีของจำนวนลบ (- 6.2 × 9.8) การคูณยังเป็นการปรับขนาดและการหมุนจำนวนเชิงซ้อน (5 × 2i)

เรากำลังก้าวไปสู่แนวคิดที่กว้างขึ้นของ "การใช้" หมายเลขหนึ่งกับอีกหมายเลขหนึ่ง โดยคุณสมบัติที่เราใช้จะแตกต่างกันไป การบูรณาการเป็นขั้นตอนต่อไปในการเดินทางครั้งนี้

อ่านเพิ่มเติม: เกมตัวเลข: ทำไมบัญชีบนคลาวด์คืออนาคต

พื้นที่เข้ามาเล่นอย่างไร?

พื้นที่เป็นหัวข้อที่ซับซ้อน ในขณะนี้ ให้พิจารณาว่าพื้นที่นั้นเป็นภาพแทนการคูณบนกราฟ เราสามารถเพิ่มแกนและรับผลลัพธ์สำหรับการนับแต่ละครั้งบนแกนที่แตกต่างกันซึ่งจะเป็น 12 ตารางหน่วย คุณสมบัติของอินพุตแต่ละรายการถูกส่งไปยังเอาต์พุตในหน่วยตารางหน่วย

มันไม่ง่ายเหรอ? นี่คือสิ่งที่ซับซ้อนเล็กน้อย การคูณจะให้พื้นที่เป็นลบซึ่งไม่มีอยู่ (2 x (-6) = -12)

เรารับรู้ว่ากราฟเป็นตัวแทนของการคูณและใช้การเปรียบเทียบตามต้องการ เราสามารถทวีคูณได้แม้ว่าบางคนจะตาบอดและไม่มีแผนภาพก็ตาม พื้นที่เป็นเพียงสมมุติฐาน

การคูณทีละส่วน

ตอนนี้คูณ 2 ด้วย 6.5

เนื่องจาก 6.5 ไม่ใช่การนับ เราจึงอาจใช้ part by part operation ถ้า 2×6 เท่ากับ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ดังนั้น 2 x 6.5 เท่ากับ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0.5 เท่ากับ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13

เรากำลังคูณ 2 กับ 6.5 กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราผสมสองส่วนที่มีทั้งหมด 6 ส่วน (2 x 6= 12) และส่วนย่อยหนึ่งส่วน (2 x 0.5 = 1)

เราคุ้นเคยกับการคูณมากจนเราลืมไปว่าได้ผลแค่ไหน เราอาจแบ่งตัวเลขออกเป็นหน่วย (ทั้งหมดและบางส่วน) คูณแต่ละส่วนแล้วรวมผลลัพธ์ คุณเคยเห็นวิธีที่เราจัดการกับเศษส่วนหรือไม่? นี่เป็นก้าวแรกสู่อินทิกรัล

ตัวเลขไม่จำเป็นต้องอยู่นิ่งนานพอที่เราจะบวกกันได้ สถานการณ์อย่าง “คุณขับ 180 กม./ชม. เป็นเวลา 50 นาที” เป็นไปเพื่อความสะดวก ไม่ใช่ความสมจริง

จะอธิบายตัวเลขที่แตกต่างกันได้อย่างไร?

การทดสอบครั้งแรกของเราคือการกำหนดตัวเลขที่มีการเปลี่ยนแปลง เราไม่สามารถพูดง่ายๆ ได้ว่า “ฉันวิ่งมาแล้ว 20 กม.” มันไม่ได้เจาะจงขนาดนั้น เท่าไหร่ที่คุณใช้เพื่อให้ครอบคลุมระยะทางนั้น?

ตอนนี้ขอได้อย่างแม่นยำ คุณได้เดินทาง 1 กม. ใน 2 นาทีแรก 1 กม. ในนาทีที่ 3 1 ^กม . ในนาทีที่ 4 และ ^1.3 กม. ในนาทีที่ 5 ^{เป็นต้น}

นี่เป็นบทสรุปที่ดี แม่นยำพอที่จะทราบระยะทางที่ครอบคลุมของคุณ คำจำกัดความอย่างเป็นทางการคือ "ความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา" ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแทนที่ค่าของเวลาและความเร็วเพื่อรับระยะทางหรือค่าของระยะทางและเวลาเพื่อให้ได้ความเร็ว

ระยะทาง = ∫ ความเร็ว(t)× เวลา

โดยที่ความเร็วหมายถึงความเร็ว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง เนื่องจาก speed(t) = 2t ในกรณีของเรา เราสามารถเขียนได้ว่า:

ระยะทาง = ∫ 2t × t

ทว่าสมการนี้ยังดูแปลกอยู่ “t” ดูเหมือนจะเป็นช่วงเวลาเดียวที่เราต้องเลือกเสมอ (เช่น t=3 วินาที) ซึ่งหมายความว่าความเร็ว (t) จะใช้ค่าเดียว ที่ไม่เหมาะสม

เราสามารถก้าวหนึ่งก้าวและถือว่านั่นเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมทั้งหมดโดยใช้การคูณแบบปกติ อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนความเร็วจำเป็นต้องใช้วิธีการทีละน้อยเพื่อรวมความเร็วและเวลาในแต่ละวินาที

เมื่อตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง การคูณแบบปกติจะเป็นกรณีพิเศษของการรวม เครื่องคำนวณแอนติเดริเวทีฟออนไลน์ (อินทิกรัล) อาจมีประโยชน์มากในขั้นตอนนี้

สิ่งที่ต้องพิจารณาเมื่อคูณส่วนต่อส่วน?

คำถามเกิดขึ้นเมื่อคูณส่วนต่อส่วน “ส่วน” ใหญ่แค่ไหน? นั่นเป็นส่วนหนึ่งของระยะทางเป็นเมตรหรือกิโลเมตร ความเร็วเป็นเมตรต่อวินาที หรือเวลาเป็นวินาที นาที หรือชั่วโมง?

ส่วนที่มีขนาดเล็กพอที่ความหมายดูเหมือนจะเหมือนกันตลอดช่วงเวลา เราไม่ต้องการความแม่นยำอย่างแท้จริง

ลิมิตถูกคิดค้นขึ้นเพื่อช่วยเราในการคูณทีละส่วน แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะมีประโยชน์ แต่ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่สามารถเบี่ยงเบนความสนใจไปจากการรับรู้ถึงการเข้าร่วมสิ่งต่าง ๆ มันทำให้ฉันหงุดหงิดที่มีการกำหนดข้อจำกัดไว้ที่จุดเริ่มต้นของแคลคูลัส ก่อนที่เราจะเข้าใจปัญหาที่ออกแบบไว้ พวกมันเป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ แต่ดูเหมือนนิวตันจะเข้าใจแคลคูลัสได้ดีถ้าไม่มีพวกมัน

สมมติว่าเรากำลังจัดการกับช่วงเวลาตั้งแต่ 4 ถึง 5 วินาที

ความเร็วเริ่มต้น (4 x 3 = 12mph) แตกต่างจากความเร็วสุดท้าย (5 x 4 = 20mph) ตอนนี้เรามีความเร็วสองความเร็วแล้ว เราจะหาระยะทางได้อย่างไร และจะใช้ค่าความเร็วเท่าไหร่?

วิธีแก้ปัญหาคือเราแบ่งความเร็วออกเป็นชิ้นส่วนเล็กๆ เพียงพอ (4.000 ถึง 4.001 วินาที) จนกระทั่งช่องว่างระหว่างจังหวะเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของรอบไม่สำคัญสำหรับเรา อีกครั้ง นี่เป็นการสนทนาที่ยาวขึ้น แต่มีช่วงเวลาที่ทำให้เกิดความแตกต่างเล็กน้อย

บนกราฟ ให้นึกภาพแต่ละช่วงเป็นจุดเดียวบนไดอะแกรม คุณสามารถลากเส้นตรงไปยังแต่ละความเร็วได้ และ "พื้นที่" ของคุณคือกลุ่มของเส้นที่คูณกัน

ห่อหมก

เป็นการยากที่จะแยก "ส่วน" ออกจากคุณค่าของมัน ช่วงเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า "ส่วนหนึ่ง" (1 นาโนวินาที 1 มิลลิวินาทีหรือ 1 วินาที) ตำแหน่งคือจุดเริ่มต้นของช่วงนาโนวินาที มิลลิวินาที หรือช่วงที่สอง ค่าแสดงถึงความเร็ว ณ จุดนั้น

อีกครั้งหนึ่ง แคลคูลัสยอมให้ช่วงหนึ่งสั้นลงจนกว่าเราจะบอกความแตกต่างของจังหวะระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงไม่ได้ จับตาดูภาพที่ใหญ่ขึ้นเพราะด้วยวิธีนี้ เราจะคูณอินทิกรัลทีละส่วน ซึ่งทำให้กระบวนการทั้งหมดง่ายมาก