Adım Adım İntegral Çarpımı Anlamak

İntegraller aynı zamanda bir eğrinin altındaki bölgeyi bulmak olarak da tanımlanır. Bu tanım çok dar. Bu, dikdörtgenlerin alanını bulmak için çarpma işleminin gerçekleştiğini iddia etmek gibidir. Hesaplama alanı faydalı bir uygulamadır, ancak çarpmanın amacı değildir.

Bölge hakkında çok fazla tartışma duyacaksınız. Alan, çarpmayı hayal etmenin yalnızca bir yoludur. İşin püf noktası alan değil, yeni bir sonuç üretmek için miktarları karıştırma kavramıdır. Elbette, düz eski bir alan elde etmek için uzunluk ve genişliği entegre edebiliriz ("çarpabiliriz"). Ancak boyutu elde etmek için hız ve zamanı veya hacim elde etmek için ağırlık, genişlik ve yüksekliği entegre edebiliriz.

Standart çarpmayı kullanmaya çalıştığımızda, ancak yapamadığımızda, büyük silahları çıkarır ve birleştiririz. Alan sadece bir simülasyon tekniğidir, bu yüzden çok fazla içine girmeyin.

İntegraller bağlamında çarpmayı anlama

Zamanla, çarpma yorumumuz gelişti:

Çarpma, tam sayıların (2 x 5) tekrarlanan toplamıdır. Çarpma, gerçek sayılar için ölçeklendirmedir (4.9 x √4). Negatif sayılar (- 6.2 × 9.8) durumunda çarpma, atma ve ölçeklemedir. Çarpma aynı zamanda karmaşık sayıların (5 × 2i) ölçeklenmesi ve döndürülmesidir.

Bir sayıyı diğerine “uygulama” konusunda daha geniş bir konsepte doğru ilerliyoruz, kullandığımız özellikler de değişiklik gösterecek. Entegrasyon bu yolculuğun bir sonraki adımıdır.

Ayrıca Okuyun: Sayı Oyunu: Neden Bulut Muhasebesi Gelecek?

Alan nasıl devreye giriyor?

Alan karmaşık bir konudur. Şimdilik, alanı bir grafikte çarpma işleminin görsel bir temsili olarak düşünün. Bir eksen ekleyebilir ve 12 birim kare olacak farklı bir eksende her sayım için bir sonuç alabiliriz. Her girdinin özellikleri, çıktıya kare birimler halinde iletildi.

basit değil mi Burası işlerin biraz karmaşıklaştığı yer. Çarpma, var olmayan negatif alanı verecektir (2 x (-6) = -12).

Grafiği çarpmanın bir temsili olarak kabul ediyoruz ve gerektiğinde karşılaştırmayı kullanıyoruz. Biri kör olsa ve hiç diyagram olmasa da çarpabiliyorduk. Alan sadece bir varsayımdır.

Parça Parça Çarpma

Şimdi 2'yi 6.5 ile çarpın.

6.5 bir sayı olmadığı için parça parça işlem kullanabiliriz. 2×6, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2'ye eşitse, 2 x 6.5, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0.5, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +'ya eşittir. 1 = 13

2'yi 6.5 ile çarpıyoruz. Başka bir deyişle, iki parçayı 6 tam parça (2 x 6= 12) ve bir kısmi parça (2 x 0,5 = 1) ile karıştırdık.

Çarpmaya o kadar alışmışız ki, ne kadar etkili olduğunu unutmuşuz. Bir sayıyı birimlere (tam ve kısmi) bölebilir, her parçayı çarpabilir ve sonra sonuçları toplayabiliriz. Kesirli bir parçayı nasıl ele aldığımızı gördünüz mü? Bu, integrallere doğru ilk adımdır.

Rakamlar, onları toplamamız için yeterince uzun süre sabit durmaz. “50 dakika boyunca 180 km/s sürdünüz” gibi durumlar gerçekçilik değil kolaylık içindir.

Değişen bir sayı nasıl tarif edilir?

İlk testimiz değişen bir sayı tanımlamaktır. “20 km yol yaptım” diyemeyiz. O kadar spesifik değil. Bu mesafeyi kat etmek için ne kadar aldın?

Şimdi kesin konuşalım. İlk 2 dakikada 1 km, ^3. dakikada 1 km, ^4. dakikada 1 km ve 5. dakikada 1.3 km yol ^aldınız .

Şimdi, bu iyi bir özet, kat ettiğiniz mesafeyi bilecek kadar kesin. Resmi tanım "hız zamanın bir fonksiyonudur", yani mesafeyi almak için zaman ve hızın değerini veya hızı elde etmek için mesafe ve zamanın değerini değiştirebileceğimiz anlamına gelir.

Mesafe = ∫ Hız(t)× Zaman

Hızın herhangi bir zamanda hızı ifade ettiği yer. Bizim durumumuzda speed(t) = 2t olduğundan, şunu yazabiliriz:

Mesafe = ∫ 2t × t

Yine de bu denklem hala garip görünüyor. "t" her zaman seçmemiz gereken tek bir an gibi görünüyor (örneğin, t=3 saniye), bu da hızın(t) tek bir değer alacağını ima ediyor. Bu uygun değil.

Bir adım atabilir ve düzenli çarpma kullanarak bunun tüm dikdörtgen için geçerli olduğunu varsayabiliriz. Bununla birlikte, değişen hızlar, her saniye için hız ve zamanı birleştirmek için parça parça bir yaklaşım gerektirir.

Sayılar değişmediğinde, normal çarpma, integralin özel bir durumudur. Bu aşamada çevrimiçi bir ters türev hesaplayıcısı (integral) çok kullanışlı olabilir.

Parça parça çarparken nelere dikkat edilmelidir?

Parça parça çarparken bir soru ortaya çıkıyor. Bir "parça" ne kadar büyük? Bu kısım metre veya kilometre cinsinden bir mesafe mi, metre/saniye cinsinden hız mı yoksa saniye, dakika veya saat cinsinden zaman mı?

Parça, anlam dönem boyunca aynı görünecek kadar küçüktür. Mutlak doğruluk talep etmiyoruz.

Kısmen çarpma işleminde bize yardımcı olmak için sınırlar icat edildi. Yararlı olmalarına rağmen, dikkatleri bir şeylere katılma algısından uzaklaştırabilecek bir ikilem için bir çözümdür. Tasarlanmış oldukları konuyu kavramadan önce, matematiğin en başında sınırlamaların getirilmesi beni rahatsız ediyor. Kullanışlı bir kavram oldukları kesin, ama Newton onlarsız da matematiği gayet iyi anlıyor gibiydi.

4 ila 5 saniyelik bir aralıkla uğraştığımızı varsayalım.

İlk hız (4 x 3 = 12mph) son hızdan (5 x 4 = 20mph) farklıdır. Şimdi iki hızımız olduğuna göre, mesafeyi nasıl elde edeceğiz ve hangi hız değeri kullanılacak?

Çözüm, hızı yeterince küçük parçalara (4.000 ila 4.001 saniye) bölmemizdir, ta ki döngünün başlangıcı ile bitişi arasındaki hız farkı bizim için önemli olmayana kadar. Yine, bu daha uzun bir konuşmadır, ancak aradaki farkı önemsiz kılan bir zaman aralığı vardır.

Bir grafikte, her aralığı diyagramda tek bir nokta olarak görselleştirin. Her hıza kadar düz bir çizgi çizebilirsiniz ve “alanınız” çoğalan bir çizgi topluluğudur.

Sarmalamak

Bir “parçayı” değerinden ayırmak zordu. Söz konusu süreye "kısım" (1 nanosaniye, 1 milisaniye veya 1 saniye) denir. Konum, nanosaniye, milisaniye veya ikinci aralığın başlangıcıdır. Değer, o noktadaki hızı temsil eder.

Bir kez daha, hesap, aralığın başlangıcı ve sonu arasındaki hız farkını söyleyemeyinceye kadar aralığı küçültmemize izin verir. Büyük resme dikkat edin çünkü bu yöntemi kullanarak integralleri parça parça çarpıyoruz. Bu da tüm süreci çok basit hale getiriyor.