逐步了解積分乘法
已發表: 2021-05-19
積分也被定義為定位曲線下的區域。 這個定義太狹隘了。 這就像聲稱乘法恰好定位矩形域一樣。 計算面積是一個有價值的應用，但不是乘法的目的。
你會聽到很多關於該地區的討論。 該區域只是想像乘法的一種方式。 訣竅不是領域，而是混合數量以產生新結果的概念。 當然，我們可以整合（“相乘”）長度和寬度來獲得一個普通的舊字段。 但是我們可以整合速度和時間來獲得尺寸，或者重量、寬度和高度來獲得體積。
當我們嘗試使用標準乘法但不能使用時，我們會拔出大砲並將它們組合起來。 該區域只是一種模擬技術，所以不要太沉浸其中。
在積分的上下文中理解乘法
隨著時間的推移，我們對乘法的解釋不斷發展：
乘法是整數 (2 x 5) 的重複加法。 乘法是實數 (4.9 x √4) 的縮放比例。 在負數 (- 6.2 × 9.8) 的情況下，乘法是折騰和縮放。 乘法也是縮放和旋轉復數 (5 × 2i)。
我們正在朝著一個更廣泛的概念發展，即“應用”一個數字到另一個數字，我們使用的屬性會有所不同。 整合是這一旅程的下一步。
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該地區如何發揮作用？
該領域是一個複雜的話題。 目前，將該區域視為圖形上乘法的直觀表示。 我們可以添加一個軸並在不同的軸上獲得每個計數的結果，該軸將是 12 個平方單位。 每個輸入的屬性都以平方單位傳遞給輸出。
不是很簡單嗎？ 這是事情變得有點複雜的地方。 乘法將給出不存在的負面積 (2 x (-6) = -12)。
我們將圖形識別為乘法的表示，並根據需要使用比較。 即使有人失明並且沒有圖表，我們也可以乘法。 該區域只是一個假設。
部分乘法
現在將 2 乘以 6.5。
由於 6.5 不是一個計數，我們可以使用一個部分一個部分的操作。 如果 2×6 等於 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2，那麼 2 x 6.5 等於 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2×0.5 等於 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 13
我們將 2 乘以 6.5。 換句話說，我們將兩個片段與 6 個完整片段 (2 x 6= 12) 和一個部分片段 (2 x 0.5 = 1) 混合在一起。
我們已經習慣了乘法，以至於忘記了它的有效性。 我們可以將一個數字分成單位（整體和部分），將每個部分相乘，然後將結果相加。 你見過我們如何處理小數部分嗎？ 這是邁向積分的第一步。
數字不一定靜止不動，足以讓我們將它們加起來。 諸如“您以 180 公里/小時的速度行駛了 50 分鐘”之類的情況是為了方便，而不是現實。
如何描述一個變化的數字？
我們的第一個測試是定義一個正在變化的數字。 我們不能簡單地說，“我已經跑了 20 公里”。 這不是那麼具體。 你花了多少錢才能走完這段距離？
現在讓我們精確一點。 您在前 2 分鐘行駛了 1 公里，第3分鐘行駛了 1 公里，第 4 分鐘行駛了 1 公里，第 5分鐘行駛了 1.3 公里，以此類推。
現在，這是一個不錯的總結，足夠精確，可以知道您的覆蓋距離。 正式的定義是“速度是時間的函數”，意思是我們可以用時間和速度的值來得到距離，或者用距離和時間的值來得到速度。
距離= ∫速度(t)×時間
其中速度表示任何給定時間的速度。 由於在我們的例子中 speed(t) = 2t，我們可以這樣寫：
距離 = ∫ 2t × t
然而，這個等式似乎仍然很奇怪。 “t”似乎總是我們必須選擇的單個時刻（例如，t=3 秒），這意味著 speed(t) 將採用單個值。 那是不合適的。
我們可以採取一個步驟，並假設通過使用正則乘法對整個矩形都適用。 然而，改變速度需要一種零碎的方法來結合每秒的速度和時間。
當數字不變時，正態乘法是積分的特例。 在這個階段，在線反微分計算器（積分）可能非常方便。
部分相乘時要考慮什麼？
逐部分相乘時會出現一個問題。 “零件”有多大？ 那部分是以米或公里為單位的距離，以米每秒為單位的速度，還是以秒、分鐘或小時為單位的時間？
該部分足夠小，以至於在此期間的含義似乎相同。 我們不需要絕對的準確性。
限制被發明來幫助我們逐部分乘法。 儘管它們很有幫助，但它們是解決難題的解決方案，可以將注意力從對連接事物的感知上轉移開。 讓我惱火的是，在我們掌握微積分設計的問題之前，就在微積分的一開始就施加了限制。 可以肯定，它們是一個有用的概念，但牛頓似乎在沒有它們的情況下也能很好地掌握微積分。
假設我們正在處理 4 到 5 秒的時間間隔。
初始速度 (4 x 3 = 12mph) 與最終速度 (5 x 4 = 20mph) 不同。 現在我們有兩個速度，我們將如何獲得距離，以及將使用什麼速度值？
解決方案是我們將速度分成足夠小的片段（4.000 到 4.001 秒），直到循環開始和結束之間的速度差距對我們來說無關緊要。 同樣，這是一個較長的對話，但有一個時間跨度使得差異可以忽略不計。
在圖表上，將每個區間可視化為圖表上的一個點。 您可以根據每種速度繪製一條直線，而您的“區域”是一系列相乘的線。
把它包起來
很難將“部分”與其價值分開。 所考慮的時間段稱為“部分”（1 納秒、1 毫秒或 1 秒）。 該位置是納秒、毫秒或秒間隔的開始。 該值表示該點的速度。
再一次，微積分允許人們縮小間隔，直到我們不能說出間隔開始和結束之間的速度差異。 密切關注大局，因為通過使用這種方法，我們將積分部分相乘。 這使得整個過程變得非常簡單。